1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---一、中国剩余定理——中国古代趣题(1)趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？"答曰：“二十三。"此类问题我们可以称为“物不知其数"类型，又被称为“韩信点兵"。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948(人)。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。(2)趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数''问题(即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？)时用四句诗槪括岀这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为"中国剩余定理"(ChineseRemainderTheorem^),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知，此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是2x70+3x21+2x15=233,233-105=128,128-105=23为什么70,21,15,105有此神奇效用？70,21,15,105是从何而来？先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除，所以70Q是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数，因此21b是被5除余b,被3与7整除的数；同理15c是被7除余c,被3、5整除的数，105是3,5,7的最小公倍数.也就是说，70d+2M+15c是被3除余a,被5除余伉被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数.了解了“剩余定理''的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答.二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5,7后，得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。先由5x7=35,即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2,不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个,，倍数35x2=70是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2x70+3x21+2x45土灿3,5,7]=233-刈3,5,7],其中£是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，刃F么我彳门可以计算2><70+3><21+2><45—2><[3,5,7]=23得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数二我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄...