基于四次矩阵样条的矩阵微分方程近似解第30卷第11期2007年11月合肥工业大学(自然科学版)JOURNALOFHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVbl.3ONo.llNov.2007基手四次矩阵样条的矩阵微分方程近似解郭清伟，王芳(合SLT.业大学理学院，安徽合肥230009)摘要:矩阵微分方程经常出现在物理模型和工程技术模型中.文章给出了用四次矩阵样条构造形如1”=A(x)Y+・B(z),Y(O)=Yo,z《,hi,A(z),.B(z)E,6］的一阶矩阵线性微分方程初值问题近似解的方法，研究了该方法的逼近误差并编制了实现该方法的一个算法，最后给出一些数值实例;比较结果表明，用四次矩阵样条所构造的近似解的逼近效果要比用三次矩阵样条所构造的近似解的逼近效果好.关键词:一阶矩阵线性微分方程;三次矩阵样条;四次矩阵样条;逼近：0221.73文献标识码：A文章编号:1003—5060(2007)11—1537—05ApproxiinatesolutionofmatrixdifferentialequationsbythequarticmatrixsplineGUOQing-wei.WANGFang9(SchoolofSciences,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)Abstract:Matrixdifferentialequationsappearfrequentlyinawidevarietyofmodelsinphysicsandan—gineering.Thispaperdealswiththeconstructionoftheapproximatesolutionoffirst—ordermatrixlin-eardifferentialequationsgivenby=A(x)Y+B(z)andy(O)一I10,wherez£a,6],andA(z),B(z)ea,6],usingthequarticmatrixspline(QMS).Anestimationoftheapproximationerrorandanalgorithmfortheimplementationoftheconstructionmethodaredescribed.Twoi11ustrativeexamplesareincluded,andforthesamefirst一ordermatrixlineardifferentialequation,theresultsob一tainedbyusingtheQMSarecomparedwiththosebyusingthecubicmatrixspline,whichshowsthattheerrorofapproximationbyusingtheQMSissmallerthanthatbyusingthecubicmatrixspline.Keywords:first-ordermatrixlineardifferentialequation;cubicmatrixspline;quarticmatrixspline;approximation矩阵微分方程经常出现在许多物理模型和工程技术模型中Ei-4］.除了许多数学模型中的问题经常写成矩阵的形式外，许多特殊的方法为了解决数量或向量问题也经常以矩阵形式出现.例如:用嵌入法求解具有边值条件的常微分方程的问题［5;用打靶法求解具有边值条件的标量和向量微分方程的问题［6;用线性方法研究偏微分方程的数值积分问题［7］;用同伦方法求解非线性方程组的问题_8］等.向量化方法将一个矩阵方程化为几个孤立的标量方程或向量方程有许多缺点［.用向量化方法会使方程中的量失去物理意义;计算的成本会增加很多;向量化方法不具有利用一些符号语言处理矩阵表达式的优点.本文在原有三次矩阵样条算法的基础上，利用四次矩阵样条函数构造一阶矩阵线性微分方程的近似解，并给出实现算法和近似解的逼近误差估计以及一些数值实例.主要目的在于验证用三次矩阵样条和四次矩阵样条分别构造一阶矩阵线性微分方程的近似解时,如果所取的步长相同，则四次矩阵样条所构造的近似解的逼近效果会不会比三次矩阵样条所构造的近似解的逼近效果要收稿口期:2006—11—10;修改口期:2007—05—10基金项目:合肥工业大学基金资助项目(061007F)作者简介:郭清伟(1968-),男,安徽滩溪人,合肥工业大学副教授，硕士生导师1538合肥工业大学(自然科学版)第30卷好.即在相同的计算精度要求下,用四次矩阵样条构造一阶矩阵线性微分方程的近似解时，步长是否可以取得比用三次矩阵样条构造一阶矩阵线性微分方程的近似解的步长大一些.1基于四次矩阵样条的微分方程解法利用四次矩阵样条来构造(1)式的一阶矩阵微分方程的近似解，即yr(z)—A(z)l,(z)+B(z)(口《z《6)Y(口)一(1)其中,,Y(z)E；A⑵:［口,6］一;B(z):Ea,6］一叫满足A(z),B(z)E［口,6］,它保证了(1)式只有一个解，并且这个解是连续的,可微的［1...在文献E6J中，有许多不同工程应用问题的数学模型都是以(1)式的形式出现的.一些非线性的方程(如黎卡提方程［7］)通过线性化后也可以化为(1)式的形式.利用固定步长的线性多步法来解决诸如(1)式类型的方程的近似解方法在文献E10］中有详细介绍，但方法的误差范围依赖于步长h,且是h的...