课时作业(二十七)第27讲数系的扩充与复数的引入时间/30分钟分值/80分基础热身1.[2018·河北衡水中学月考]已知复数z的共轭复数为z,若|z|=4,则z·z=()A.16B.2C.4D.±22.[2018·广州二模]若a为实数,且(1+ai)(a-i)=2,则a=()A.-1B.0C.1D.23.[2018·青海西宁二模]复数4−2i1+i=()A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i4.已知i为虚数单位,复数z满足z(1-i)=1+i,则z2020=()A.1B.-1C.iD.-i5.若复数z=cosθ-sinθ·i在复平面内所对应的点在第四象限,则θ为第象限角.能力提升6.若复数z满足(1-i)z=i(i为虚数单位),则z的虚部为()A.-12B.12C.-12iD.12i7.[2018·江西九江三模]已知复数z=2+bi(b∈R,i为虚数单位),且满足z2为纯虚数,则z·z=()A.2√2B.2√3C.8D.128.若a∈R,则“复数z=5−aii在复平面内对应的点在第三象限”是“a>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.[2018·济南二模]设复数z满足z(1-i)=2(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是()A.|z|=2B.复数z的虚部是iC.z=-1+iD.复数z在复平面内所对应的点在第一象限10.若(1-mi)(m+i)<0,其中m为实数,i为虚数单位,则m的值为()A.-1B.-2C.-3D.-411.[2018·华南师大附中三模]设i是虚数单位,z表示复数z的共轭复数.若z=4−5ii,则(3-i)z=()A.11+17iB.11-17iC.-11+17iD.-11-17i12.[2018·甘肃西北师大附中月考]已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数,则实数a=.13.[2018·昆明5月模拟]已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根,则实数m的值为.14.[2018·安徽省江南十校二模]已知复数z满足z2=12+16i,则z的模为.难点突破15.(5分)设复数z=(1+i)2+3¿¿,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),则b-a=.16.(5分)已知z是复数,z+2i,z2−i均为实数,且(z+ai)2在复平面内所对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是.课时作业(二十七)1.A[解析]因为z·z=|z|2=|z|2,所以z·z=42=16,故选A.2.C[解析]由(1+ai)(a-i)=2得a-i+a2i+a=2,即2a+(a2-1)i=2,所以{2a=2,a2-1=0,解得a=1.故选C.3.B[解析]4−2i1+i=(4-2i)(1-i)2=4−2−6i2=1-3i.故选B.4.A[解析]由z(1-i)=1+i得z=1+i1−i=(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+2i+i21−i2=i,所以z2020=i2020=(i2)1010=(-1)1010=1.故选A.5.一[解析]依题意cosθ>0,-sinθ<0,即cosθ>0,sinθ>0,所以θ为第一象限角.6.B[解析]由(1-i)z=i得z=i1−i=i(1+i)2=-12+12i,所以z的虚部为12.故选B.7.C[解析]因为z2=(2+bi)2=4-b2+4bi为纯虚数,所以4-b2=0且4b≠0,解得b=±2,所以z·z=|z|2=22+b2=8,故选C.8.C[解析]由题得z=5−aii=-a-5i,由于复数z=5−aii在复平面内对应的点在第三象限,所以-a<0,-5<0,得a>0.所以“复数z=5−aii在复平面内对应的点在第三象限”是“a>0”的充要条件.故选C.9.D[解析]z=21−i=2¿¿=1+i,所以|z|=√12+12=√2,复数z的虚部是1,z=1-i,复数z在复平面内所对应的点为(1,1),在第一象限.故选D.10.A[解析]∵(1-mi)(m+i)=2m+(1-m2)i,(1-mi)(m+i)<0,则{2m<0,1−m2=0,解得m=-1,故选A.11.C[解析]z=4−5ii=(4-5i)i-1=-5-4i,所以z=-5+4i,(3-i)z=(3-i)(-5+4i)=-15+4+5i+12i=-11+17i.故选C.12.34[解析]z1z2=(3+4i)·(a-i)=3a+4+(4a-3)i,又z1z2∈R,则4a-3=0,得a=34.13.-2[解析]因为复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根,所以(1+i)2+m(1+i)+2=0,即2i+m(1+i)+2=0,即m(1+i)=-2(1+i),得m=-2.14.2√5[解析]设z=a+bi,a,b∈R,则由z2=12+16i,得a2-b2+2abi=12+16i,则{a2-b2=12,2ab=16,解得{a=4,b=2或{a=−4,b=−2,即|z|=√a2+b2=√16+4=2√5.15.7[解析]z=(1+i)2+3¿¿=2i+3−3i2+i=3−i2+i=(3-i)(2-i)5=1-i.因为z2+az+b=1+i,所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,所以(a+b)-(a+2)i=1+i,所以{a+b=1,¿=1,¿解得{a=−3,b=4.所以b-a=7.16.(2,6)[解析]设z=x+yi(x,y∈R).因为z+2i=x+(y+2)i为实数,所以y=-2.又z2−i=x-2i2−i=15(x-2i)·(2+i)=15(2x+2)+15(x-4)i为实数,所以x=4,所以z=4-2i.又因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,它在复平面内所对应的点在第一象限,所以¿解得2