（五）函数的单调性、奇偶性与周期性（一）知识归纳▲函数的单调性1．单调性概念如果函数y=f(x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x，当x<x时，2121、、①都有f(x)<f(x)，则称f(x)在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；21②都有f(x)>f(x)，则称f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.21注意，若函数f(x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f(x)称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：/0?(x)f)x?f(y),b(a在某个区间在这个区间内是单调递增；内，如果，那么函数/0x)?f()f(xy?，那么函数在这个区间内是单调递减。如果▲函数的奇偶性3．奇偶性概念)(xx)，则称f)x为奇函数；②都有f(－x)=f(①都有f(x)定义域内的任意x，f(－x)=－f(x)，则称f(如果对于函数)(x)不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f为偶函数；③如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x既是奇函数，又是偶函数。)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。注意：函数f(x．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关4y轴对称。于0(0)?f0x?处有定义，则)为奇函数，且在．函数f(x5▲函数的周期性．周期性概念6是T(x)为周期函数。)=f(x)，则称f(如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有fx+T的一个周期。f(x)的最小正周期。(x)若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f学习要点：（二）▲函数的单调性．函数单调性的证明方法1)f(x)?f(x)）f(x)?f(x（或x??x,xM,且x③根据定义，得出结论。）定义法：①任取；②论证（121122211（2）导数法f(x)[a,b]上不是单调函数，只要举出反例即可。2．若要证明在区间f(x),g(x)F(x)?f(x)?g(x)的单调性的结论吗？的单调性，你能说出3．如果知道4．复合函数的单调性：“同增异减”设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是g(x)的值域①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。5．奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。页8共页1第f的抽象函数”的不等式。运用函数的单调性可以解“含6．7．注意“函数f(x)的单调递增（或递减）区间是D”与“函数f(x)在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：?不等式f'(x)>0（<0）的解集是区间D；①函数f(x)的单调递增（减）区间是D?不等式f'(x)>0（<0）对于x∈D②函数f(x)在区间D内单调递增（减）恒成立.▲函数的奇偶性8．函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。9．要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0f(x)?F(x))?f(x)?g(x)xg()F(x)?f(x)?g(xF(x)f(x),的奇偶10．如果知道，，的奇偶性，你能说出g(x)性的结论吗？▲函数的周期性TT)?f(x?f(x?)。常常写作)=1．f(x+Tf(x)22T2．若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为?||3．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。(三)例题讲评32)x?R?(n?6)(4x?(m?)x?3mx的图像关于原点对称，其中(例1．已知函数fx)=m,n为实常数。2,2])[?f(x.上是单调函数(1)求m,n的值；（2）试用单调性的定义证明：在区间22f(?a?2a?5)?f(2a?a?1),x例2．设f()是定义在R上的偶函数，在区间（－∞，0且满足）上单调递增，求实数a的取值范围。例3．判断下列函数的奇偶性：?1n(x?1?x)(x?0)xx?2?1?16221)??x?1og(x)?1(1?x(3)f0)x?0f(x)?()(1)f(x?;(2)?2x2?0)x?)(xn1(1???x?页8共页2第T)?f()xf(的值为上的奇函数,它的最小正周期为例4．（1）T,则是定义在R2TT．－．TDCBA．．022f(x)f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)f(0)?0R，满足（2）定义在实数集上的函数，f(1)?0f(x)是以且为一个周期的周期函数，则.（3）已知定义在R上的函数y=f(x)满...