6.2.3向量的数乘运算及其几何意义导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题【自主学习】知识点1向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作λa，其长度与方向规定如下：21·世纪*(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.知识点2向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.知识点3共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.知识点4向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【合作探究】探究一向量的数乘运算【例1】计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．归纳总结：【练习1】计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．探究二用已知向量表示未知向量【例2】如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC，CD.归纳总结：【练习2】如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a、b、c表示向量OM.探究三向量共线定理的应用【例3-1】已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？【例3-2】已知两个非零向量e1和e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．【：21cnj*y.co*m】归纳总结：【练习3-1】已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：AB，BD共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【练习3-2】已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.课后作业A组基础题一、选择题1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝2．下列各式计算正确的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC等于()A.BCB.ADC.ADD.BC5．已知向量a，b，设AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，那么下列各组中三点一定共线的是()A．A，B，CB．A，C，DC．A，B，DD．B，C，D6．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④7．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为()A．2B．3C．4D．5二、填空题8．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示)9．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为________．10.如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且AM＝AB＋AC，AN＝AB＋AC，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________．www-2-1-cnjy-com三、解答题11.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．12.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．13．设e1，e2是两个不共线的向量，AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．14.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M、N、C三点共线.B组...