第三节一阶线性微分方程分布图示★一阶线性微分方程及其解法★例1★例2★例3★例6★例4★例5★★例7例8★伯努利方程10★例★例9课堂练习★★内容小结8-3★习题内容要点:一、一阶线性微分方程形如dy?P(x)y?Q(x)(3.1)dxP(x)Q(x)I上的连续函数.其中函数当、是某一区间的方程称为一阶线性微分方程.Q(x)?0,方程(3.1)成为dy?P(x)y?0(3.2)dx这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解?P(x)dx?.y?Ce(3.3)C为任意常数.其中求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将u(x)C，并设一阶非齐次方程通解为变易为待定函数通解中的常数?P(x)dx?,exu()y?一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为??dx)?dxP(xP(x)???(3.5)eCdx(y?Qx)e?二、伯努利方程：形如dynyx)y)?Q(P?(x(3.7)dxnn?0,1.为常数，且，其中伯努利方程的方程称为伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上，ny，得(3.7)在方程两端除以dy1?n?n?Q(x),?P(x)yydx11?n1?n??Q(x),?P(?(yx)y)或1?n1?ny?zz的一阶线性方程，就得到关于变量于是，令dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x).dx利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解????dx(x)(1?n)?(1?n)P(x)dxPn1??e)1?nyQ(x?e)(dx?C.????例题选讲：一阶线性微分方程1sinx?y?y?.求方程的通解例1（E01）xx1sinx于是所求通解为解,)?,QP(x)?(xxx11????xsinxsin1??dx?dx???xlnx?ln?xxC??e?edxC?e?edxy?).cosx?C?(?????xxx????dy2y5/2)x?1??(的通解求方程例2（E02）.dxx?1解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.dy2dxdy22由????.(x?1)y?CClnln(x?1)??lny20??yyx?1dxx?1dy22?,x?1)y?u(,把则有换成即令用常数变易法,uC),?12u((x?1)x??udx22/13/2?,?(x?1)u两端积分得代入所给非齐次方程得,C(x?1)?u?3回代即得所求方程的通解为2??23/2.?))x?1C(x?1(y???3??例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解.y?1.,y?lnxxdy(??dx)lnx0e?x11?于是将方程标准化为解,??yyxlnxxdxdx????1111????????xln?2lnlnxln?xlnxxlnx.x?Cedx?e?C?lnCdx?y?ee??????xlnx2x??????111??由初始条件得故所求特解为,?1y.??lnxy,C???ex?2lnx2????ddyd??,)(x?y?(x)是的已知函数.4例求解方程xdxdxdx??dd?解原方程实际上是标准的线性方程，其中P(xx)?)(x),?,Q(dxdx直接代入通解公式，得通解??dd?????d?dxdx????)x)?((x?)(?x????dxdxey?]d(?ex)eC[?.?Cex)??1(Cex)?dx(??dx????32的通解.例5求方程0)dy(2xy??1ydx?解当将看作的函数时，方程变为yx3ydy?2dxxy21?这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将看作的函数，方程改写为yxdx231?x?2yydy则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为dx320x?2y?ydydx2dy1??即分离变量，并积分得,??Cx?12yxy1代入原方程,其中为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为得,)x?u(yC12y1??u)(yy积分得C|??ln|y(uy)1故原方程的通解为，其中为任意常数.)?C(lnx?|y|C2y3)xfy?((x?0y?x)y截下的线段例6与,如所示平行于轴的动直线被曲线之PQf(x).求曲线,长数值上等于阴影部分的面积x?2332?)??(xyf(x)dx解两边求导得解此微分方程得,?xy?,3?yx?y0????dxdx?2?x?2,3x?6x?Ce?6?dxeC?3xey?????2x?得故所求曲线为由,?0y).?2x3y?(?2e?2?x,6C??0?xdy42.求7的通解例y?x?yxdx4dy12得两端除以解,y,y?x?xdxyx4dz??22,?zy令得解得,xC?z?,2?z?x??2xdx??2x??4y?x?C.故所求通解为??2??伯努利方程dyy2y)lnx??(a的通解.）例8（E03求方程dxx2除方程的两端,得以解y?1)1d(ydy11??1?2即??y?alnx,,y?y?alnxxdxxdx1dz1?,?yz令则上述方程变为.alnx?z??xdxa??2解此线性微分方程得n?(.lx)Cx?z??2??a??21?以代得所求通解为yyx,z)(lnxC?.1???2??dy32的通解.例9求方程1?x)?x)?x?(y?x(ydxdydudu32y?x?u,则令于是得到伯努利方程解.xu?1,xu????dxdxdx1dz32?1令上式即变为一阶线性方程.?ux??xz?,zudx222??xxx????32222Cedxx?.x?2?e?z?Ce其通解为????回代原变量，即得到题设方程的通解．11.xx???y?2zx22?Cex?2dy1y??.求解微分方程例102(xy)dxxsinxdzdy则令解,?xyz,?x?ydxdx??y11dz???,??x??y??22xdx...