也谈一望而知方程根普安县教育局教研室舒世军邮篇：561500电话：13984496294在重庆大学出版的《数学情境与数学问题》一书中，四川师范学院汤强、康纪权两位老师设置有这样一个数学情境问题：“对方程x+=c+，不少同学回答说：‘我不用笔，只要眼睛看看，就知道方程的根x1=c，x2=’”。现笔者就此数学情境，来谈谈学生是怎能样“一望而知方程根”的。首先，我们来看此方程的结构，右边x+，是一个数加上它的倒数，左边c+，也是一个数加上它的倒数，即左右两边的结构相同。不难看出，只要我们把未知数x的地方用c或来代换，即得c+=c+。根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以c或是方程的根。但此类方程以及它的变式方程要完整地写出它的根的求解过程，其步骤是比较复杂的。下面我们完整地完写出方程x+=c+求解过程：解：x+=c+=c(x2+1)=x(c2+1)cx2-(c2+1)x+c=0（x-c）(cx-1)=0（x-c）=0或(cx-1)=0所以x=c或x=经过检验，x=c或x=是方x+=c+的根。此解法看上去是比较复杂的，要是它的变式方程（如x+=a+），那就更加复杂了，但我们在遇上这类方程的变式方程的时候，能不能不像上面这样去解它，而是找到一种简单方法来解呢？刚才所说的方程的结构具有特殊性，且方程x+=c+的根是x=c或x=是不用怀疑的。我们可以利用它的特殊性，建立数学模型：方程x+=c+的根是x=c或x=。有了此模型，我们就可以用它来形如方程x+=c+类型的方程及它的变式方程。下面举例说明：例1：解方程x+=解：原方程可化为：x+=2+由所建立模型得：x1=2，x2=检验略。例2：解方程x+=a+解：化为x+=c+类型，两边减1得（x-1）+=(a-1)+令：（x-1）=y可得y+=(a-1)+(a-1看成c)得y1=a-1,y2=即：x-1=a-1或x-1=x1=a或x2=+1=检验略。例3：解方程组解：由（1），设=m,则=即，m+=由例1知，m=2或m=即，=2或==4或=把=4或=与（2）并成方程组得或解方程组得或检验略。例4：解方程x+=（a为常数且不等于0）解：将方程化为x+=c+类型，两边乖以2得2x+=a+3+两边都减去3得2x-3+=a+（把2x-3看着一整体）由所建模型得2x-3=a或2x-3=所以原方程的根是x1=x2=经检验x1=x2=是方程的根。下面我们以例4为例来比较一下，不用模型“方程x+=c+的根是x=c或x=”来解（即用常规方法），看一下会乍样。解：（常规方法）原方程化为=（看上去已非常复杂）去分母得8ax2-12ax+2a=(4a2+12a+4)x-6a2-18a-6移项得8ax2-(4a2+24a+4)x+6a2+20a+6=04ax2-2(a2+6a+1)x+3a2+10a+3=0由求根公式得x1=x2=（求根过程太复杂，在此不一一写出）由例4的常规解法与用模型解法相比较，此类型的题用常规解法是比较难的，主要是解常规方法解题步骤复杂，容易算错，运算量大，如此题的用求根公式这一步是比较难算出来的。而用我们建立的数学模型解起来直观易懂，又不易出错，运算量也比较小。通过上面的例子，我们可以看出，在遇到某种比较难解的题目的时候，我们可以动脑想出一些方法，然后利用这些方法或者途径来构建一些简单的数学模型，再利用这些数学模型为我们解题服务，会收到事半功倍的效果。