浅谈整除的基本性质以及带余数的除法学生：彭启曌学号：102023010049摘要：整除在以后多项式的计算中或实际生活中会有很大的帮组，当然，他与带余数的除法是分不开的，两者相辅相成，是我们学习数学必不可少的工具之一。关键词：整除;余数;辗转相除1.整除概念及基本性质1.1整除的概念在整数的世界里，我们知道，任意两个数的和、差、积任然是整数，但四则运算中的除这一性质，却不能适用于所有的整数；因为用一不等于零的整数去除另外一个整数所得的商却不一定是整数，所有我们引进了整除。整除的定义：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数a使得等式a=bq成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数。1.2整除的性质1）若b|a，c是任意整数，则b|ac。2）若c|a，c|b，则c|a±b。3）若b|a，c|b，则c|a。4）若a|b，b|a，则|a|=|b|。5）若对任意a，±1|a，±a|a。1.3一些能被特殊数整除的数1）任何数都能本1整除。2）每一位上数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。3）个位上是0或5的数都能被5整除。4）把各位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。5）每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。6）个位上是2、4、6、8、0的数都被2整除。7）最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。8）一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。9）最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。10）若每一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。2.带余数的除法2.1带余数除法的定义若a，b是两个整数，其中b>0，则存在若两个整数q及r，使得a=bq+r，0≤r＜b成立，而且b及r是唯一的。q叫做a被b除所得的不完全商，r叫作a被b除所得的余数。证明：设Q,R是满足上式的两个整数，则a=bQ+R,0≤R＜b,因而bQ+R=bq+r,于是b(q-Q)=r-R,故b|q-Q|=|r-R|.由于r及R都是小于b的正数，所以上式右边是小于b的。如果q≠Q，则上式左边≥b。这是不可能的。因此q=Q，r=R。2.2带余数除法的简单应用1）带余数除法在辗转相除法中的应用。设a，b是任意两个正整数，由带余数除法，我们有下面的系列等式：a=b*+，0<
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