多线性奇异积分算子交换子在Morrey空间的有界性摘要:主要考虑具有标准多线性m??Calderón??Zygmund核的奇异积分算子与BMO函数生成的一类交换子在广义Morrey空间上的有界性,作为推论得到了该交换子在经典Morrey空间中的有界定理,拓广了PerezC和TorresR的结果.关键词:多线性算子;交换子;BMO函数;Morrey空间:O174.2文献标识码:ABoundedEstimationofCommutatorsofMultilinearSigularIntegralsonMorreySpacesZHOU激ang????1??,LILiang??2,YILei??2,CHEN激n??yang????3?k??(1.CollegeofMathematicsandEconometrics,HunanUniv,Changsha,Hunan410082,China;2.DeptofMath,InstituteofAppliedMathematics,YiliNormalUniv,Yining,Xin激ang835000,China;3.CollegeofMathematicsandStatistics,HubeiNormalCollege,Huangshi,Hubei435000,China)Abstract:Theboundednessofcommutatorsgeneratedbymultilinearsingularintegralswithm??Calderón??ZygmundkernelsandBMOfunctionswasprovedonthegeneralMorreyspace.AnewtheoremonclassicalMorreyspacewasgivenandtheresultsofC.PerezandR.Torreswereextended.Keywords:multilinearoperators;commutators;BMOfunctions;Morreyspace1背景介绍及基本概念多线性奇异积分理论最初是由Coifman等人????[1]??建立的,由于多线性算子理论在偏微分方程,多复变分析中有广泛的应用,关于此理论的研究越来越多,特别是近几年来又有许多新的研究成果,其中Grafakos等人在文献[2-5]中对多线性Calderón??Zygmund算子理论做了系统阐述.另一方面,交换子理论的研究在算子理论及偏微分方程中占有很重要的地位,Coifman等人????[6]??定义了一种交换子,即????T????b(f)(x)=∫??????R????n??(b(x)-b(y))K(x,y)f(y)??d??y.其中K是一个标准的??Calderón??Zygmund??核,b∈??BMO??(R??n),同时证明了该交换子在L??p(R??n)(1∫????(R??n)??∑m??i=1??b??ix-b??iyKx,y??1,…,y??m×f??1y??1…f??my??m??d??y??1…??d??y??m.(1)其中T为带有??m??Calderón??Zygmund核的多线性Calderón??Zygmund??算子,核函数K是定义在??(R??n)????m空间上的一个去掉对角线上的元素,y??0=y??1=…=y??m,且满足尺寸条件:Ky??0,…,y??j,…y??m≤C??∑m??k,l=0??y??k-y??l??????-mn??.(2)这里ε>0,同时满足:Ky??0,…,y??j,…,y??m-Ky??0,…,y????′??j,…,y??m≤C|y????j-y????′????j|??∑m??k,l=0??y??k-y??l??????mn+ε??.(3)其中0≤j≤m,|y????j-y??′????j|≤12?┆?max????0≤k≤m|y????j-y????k|,算子T定义为:Tf??1,…,f??mx=∫???┆?(R??n)????n??∑m??i=1??b??ix-b??iyKx,y??1,…,y??mf??1y??1…f??my??m??d??y??1…??d??y??m.(4)函数f??1,…,f??m是C????∞上的带有紧支集的函数,且x??∩mj=1??sup??pf????j,??BMO??R??n空间是满足下述条件的局部可积函数f的全体.??‖f‖????*:=??sup??1B∫Bf(x)-f??B??d??x<??SymboleB@,其中f??B:=1B∫??Bf(y)??d??y,这里上确界取遍R??n中所有包含x的球体B,B表示B的??Lebesgue??测度.设T是一个定义如式(4)的??m??Calderón??Zygmund??算子,且b=b??1,…,b??m是一个向量值函数,每一个b????j在R??n上局部可积.记f=f??1,…,f??m;而每一个f????j都是带有紧支集的光滑函数.交换子T????b??如式(1)的定义,??PerezC等人????[7]??证明了当b=b??1,…,b??m,b??i∈??BMO??R??n(1≤i≤m??)??时,交换子T????b??是L????q??1??×…×L????q??m??→L??q有界的,其中1??SymboleB@,1q??1+…+1q??m=1q.该交换子的更多研究见文献[8-9].最近,??SoftovaL????[10]??讨论了一类广义Morrey空间,定义如下.??定义1设ω:R??n×R→R??+,1??SymboleB@,函数f∈L????p??????loc??(R????n)称属于广义??Morrey??空间L??????p,ω??,若??‖f‖??????L????p,ω????:=?┆?sup??????x∈R??n,r>0????1ω(x,r)∫????B(x,r)????f(y)????p??d??y??????1p??<??SymboleB@.其中B(x,r)表示以x为球心,以r为半径的球体.注1若ωx,r=r????n1-pq??,则L??????p,ω??空间恰是经典的??Morrey??空间,即湖南大学学报(自然科学版)2010年第4期周疆等:多线性奇异积分算子交换子在??Morrey??空间的有界性??‖f‖??????M??q??p(R??n)??:=...