§3弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案周角的等于1度.思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，用符号rad表示.思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.梳理(1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的弧度制在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案利用1°＝rad和1rad＝进行弧度与角度的换算.梳理(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝≈57.30°＝57°18′(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则S＝lr，l＝αr.梳理α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝l＝αr扇形的面积S＝S＝lr＝αr21.1rad的角和1°的角大小相等.(×)提示1rad的角和1°的角大小不相等，1°＝rad.2.用弧度来表示的角都是正角.(×)提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化.(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1)20°＝＝.(2)－15°＝－＝－.(3)＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.跟踪训练1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成度.考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1)112°30′＝°＝×＝.(2)－＝－°＝－75°.类型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角.(1)－1500°；(2)；(3)－4.考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1) －1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋，是第四象限角.(2) ＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角.(3) －4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角.考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角解(1) －1480°＝－1480×＝－，而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.∴－1480°＝＋2×(－5)π.(2) ＝×°＝72°，∴终边与角的终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为()A.πB.C.D.(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A.2B.C.2sin1D.考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用答案(1)A(2)D解析(1)扇形的中心角为120...