专题04数列（解答题）1．（浙江省衢州二中2020届高三（下）适应性数学试卷题）设前n项积为Tn的数列{an}，an＝λ﹣Tn（λ为常数），且是等差数列．（1）求λ的值及数列{Tn}的通项公式；（2）设Sn是数列{bn}的前n项和，且bn＝（2n+3）Tn，求S2n﹣Sn2﹣n的最小值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）当时，，整理得，由是等差数列，可得答案；（2）因为，根据前n项和的定义得到，，令，研究其单调性可得S2n﹣Sn2﹣n的最小值．【解析】（1）当时，，即，即，所以，因为是等差数列，所以，令，所以，所以数列{Tn}的通项公式为；（2）因为，所以，令，所以，所以，所以数列是单调递增数列，所以，即.所以S2n﹣Sn2﹣n的最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.2．（内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试题）已知数列和满足.（1）证明：是等比数列；（2）求数列{}的前n项和图片1028...【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据递推数列及等比数列的定义即可证明；（2）根据错位相减法求数列的和求解.【解析】（1）由，可得，即，则是首项为3，公比为2的等比数列（2）由（1）知，，，两式相减得【点睛】本题主要考查了递推关系，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.3．（安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）通过对变形可知，进而计算可图片1028...得结论；（2）通过可知，利用错位相减法计算可得结论.【解析】（1）可得，又，所以数列为公比为2的等比数列，所以，即（2），设则所以，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.4．（甘肃省天水一中2020届高三高考数学（文科）二模试题）已知数列的前项和为，满足，，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.图片1028...【分析】（1）由得的递推式，然后可证数列为等比数列；（2）由（1）求得，得出，用错位相减法求出数列的和.【解析】（1）由，由，故，进而：，故数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）知：，故，分别记数列，的前项和为，，则，，相减得：，所以，，故.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用.5．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知数列满足，且（）.图片1028...（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）对题中所给式子取倒数得：，可知数列是等差数列，最后得出的通项公式；（2）当时，利用放缩法可得，然后利用裂项相消法可求得的前n项和，进而可得，又可得出，从而，最后可证明结论.【解析】（1）对式子取倒数得：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即；（2）（），图片1028...故，另一方面：，从而，即，综上得：.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用数列性质证明不等式，考查逻辑思维能力和推理能力，属于常考题.6．（2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（三）理科数学试题）记数列的前项和为，若，且．（1）求证：数列为等比数列；（2）求的表达式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题意可得，从而可得，再利用等比数列的定义即可证明.（2）由（1）可知，，从而可得，再利用分组求和以及等比、等差的前项和公式即可求解.【解析】（1）因为，故，图片1028...则，则，故，故是以4为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可知，，故，故．【点睛】本题考查了等比数列的定义、分组求和、等比、等差的前项和公式，考查了考生的基本运算能力，属于基础...