8.6.3平面与平面垂直的判定导学案编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波【学习目标】1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小2.理解两平面垂直的定义3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题【自主学习】知识点1二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β【合作探究】探究一二面角的概念及求法【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角APDC平面角的度数；(2)求二面角BPAD平面角的度数；(3)求二面角BPAC平面角的度数．[分析](1)证明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．[解](1) PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角APDC平面角的度数为90°.(2) PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角BPAD的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角BPAD平面角的度数为90°.(3) PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角BPAC平面角的度数为45°.归纳总结：清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”【练习1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．解：如图，取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a.在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，所以二面角BA1C1B1的正切值为.探究二平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.[证明] PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又 CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又 CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.归纳总结：判定两平面垂直的常用方法：1定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；3性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面【练习2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．求证：平面DD1E⊥平面CD1E.证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2，因为CD＝4，所以CE⊥DE，因为D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CE，因为D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE，又CE⊂平面CED1，所以平面DD1E⊥平面CD1E.探究三线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图所示，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积．[分析]本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解．[...