旋转倒立摆控制系统建模、分析与设计李振(1.上海大学机电工程与自动化学院上海200072)摘要：本文介绍了单级旋转倒立摆系统的构成，并利用Lagrange方程建立了数学模型，根据倒立摆系统的数学模型在Matlab环境下设计了控制器，并进行仿真。设计了LQR状态跟随运动控制器。结果表明，LQR状态跟随器控制系统超调小，响应速度快，鲁棒性强。根据设定的Q和R，计算出LQR最优控制参数K。关键词：旋转倒立摆；状态反馈；最优控制策略LQR中图分类号：TG214ModelingAnalysisandDesignofRotaryInvertedPendulumControlSystemLIZhen(1.CollegeofMechatronicEngineeringandautomation,ShanghaiUniversity,Shanghai200072)Abstract：ThestructureandmathematicmodelofSingle-RotationalInvertedPendulum(RIP)ispresentedinthispaper.ThemathematicalmodelissetontheLanguageequation.AccordingtothemathematicalmodelofinvertedpendulumsystemcontrollerwasdesignedinMatlabenvironment,andcarryonthesimulation.LQRstatefollowingthemotioncontrollerisdesigned.TheresultsshowthattheLQRstatefollowercontrolsystemhassmallovershoot,fastresponseandstrongrobustness.AccordingtothesetofQandR,theLQRoptimalcontrolparameterKiscalculated.Keywords：RotationalInvertedPendulumState-feedbackControllerLQRcontroller0前言常见的倒立摆系统主要包括直线倒立摆、旋转型倒立摆和环型倒立摆。他们之间主要是机械结构的不同，原理上大同小异。各种倒立摆系统在建模方法、模型分析上十分类似而其主要区别在于采取的控制理论不同。旋转倒立摆的摆杆旋臂是在竖直平面内旋转的，一般的结构如图1所示。图1旋转倒立摆的总体结构在本实验中，为了建模过程方便，对旋转倒立摆的结构进行了简化。利用现代控制理论的有关知识，对简化的旋转倒立摆系统建立状态空间模型，分析其能控及能观性并进行状态反馈控制的设计。1旋转倒立摆控制系统建模本试验仅对旋转倒立摆的简易模型进行设计与分析。假设旋臂仅在水平面内运动，忽略空气阻力及摩擦，得到简易旋转倒立摆的简化模型如图2所示。该模型描述了旋转倒立摆的运动过程。由于旋臂在电机的带动下旋转，摆杆随之摆动，通过对旋臂的旋转控制，保持摆杆在竖直平面内。图2旋转倒立摆的简化模型建模过程中，机械结构参数有：①摆杆的集中质量m②旋臂长度r③摆杆等效长度L。设摆杆偏离垂直向上的角度为α，旋臂转过的角度为θ。该系统的状态空间方程推导如下：将摆杆竖直面的运动在x与y方向上分解：Vm=Lcosα(˙α)+Lsinα(˙α)(1)旋臂的速度：VM=r˙θ(2)则有摆杆实际运动的速度分解为：Vx=r˙θ−Lcosα(˙α)(3)Vy=−Lsinα(˙α)(4)系统的总势能为重力势能：EP=mgh=mgLcosα(5)系统总动能的表达式：Ek=EkM+EkVx+EkVy+Ekm(6)求摆杆的转动惯量：I=∫❑❑x2dm=mL∫−hL−hx2dx=13m(L2−3Lh+3h2)代入h=L，得Jm=13mL2(7)则总动能为：Ek=12JM˙θ2+12m(r˙θ−Lcosα(˙α))2+12m(−Lsinα(˙α))2+12Jm˙α2(8)定义Lagrange算子La：La=Ek−Ep¿12JM˙θ2+23mL2˙α2−mLrcosα(˙α)(˙θ)+12mr2˙θ2-mgLcosα(9)由Lagrange方程：∂∂t(∂La∂˙θ)−∂La∂θ=T−Beq˙θ(10)∂∂t(∂La∂˙α)−∂La∂α=0(11)得：JM¨θ−mLrcosα(¨α)+mLrsinα(˙α)2+mr¨θ=T−Beq˙θ(12)43mL2¨α−mLr¨θcosα−mgLsinα=0(13)近似认为α很小，对方程(10)、(11)进行线性化，即认为sinα→α,cosα→1，高次项(˙α)2→0，得：(JM+mr2)¨θ−mLr¨α=T−0(14)43mL2¨α−mLr¨θ−mgLα=0(15)其中电机输出力矩为：T=¿(16)其中ηm、ηg为电机、减速器效率；Ki、Kg为电机力矩和减速比系数；Vm为电机电枢电压；Rm为电机电枢电阻；Km为电机反电势系数。整理上面的式子，可得如下状态空间：˙x=Ax+BuY=Cx+Du其中x=[θ˙θα˙α]Y=[θα]u=VmA=[0100−4ηmηgKiKg2KmRm(4JM+mr2)−4Beq4JM+mr23mgr4JM+mr200001−3rηmηgKiKg2KmLRm(4JM+mr2)−3rBeqL(4JM+mr2)g(JM+mr2)L(4JM+mr2)0]B=[04ηmηgKiKgRm(4JM+mr2)03rηmηgKiKgLRm(4JM+mr2)]C=[10000010]D=[00]即[˙θ¨θ˙α¨α...