多圆柱上μ-Bloch空间之间的加权Cesàro算子摘要：分别给出了多圆柱上??μ-Bloch空间??β??μ之间、β???│?,0????空间之间的加权Cesàro算子??T??g??为有界算子和紧算子的充要条件.关键词：??β??μ??空间；加权Cesàro算子；有界算子；紧算子：O?@174.56文献标识码：A：1008??9497（2011）02??126??05ZHAOYan/|hui(DepartmentofMathematicsandComputationalScience,HunanUniversityofScienceandEngineering,Yongzhou425100,HunanProvince,China)ExtendedCesàrooperatorsbetween??μ-Blochspaces??β??μ??inthepolycylinder.JournalofZhe激ang??University??(ScienceEdition),2011,38(2):126-130Abstract:ThenecessaryandsufficientconditionsaregivenforextendedCesàrooperatorstobeboundedand??compact??between??μ-Blochspaces??β??μ??and??β???│?,0????onthepolycylinder.?お?KeyWords:??μ?勃?Blochspace;extendedCesàrooperators;boundedoperators;compactoperators1引言和记号????设D为复平面上的单位圆盘,在单复变中定义了如下的??Cesàro??算子：c［f］(z)=∑∞j=01j+1∑jk=0a??kz??j,f(z)=∑∞j=0a??jz??j∈H(D)，设U??n={z=(z??1,z??2,…,z??n):|z??i|<1}为C??n中的单位多圆柱，??U??n表示U??n的拓扑边界，?躬?*U??n={z=(z??1,z??2,…,z??n):|z??i|=1}（i=1,2,…，n）表示U??n的特征边界，H(U??n)表示U??n上全纯函数全体.在多复变中定义U??n上的加权??Cesàro??算子为?└?定??g∈H(U??n)，记D??k=?功?z??k，T??gf(z)=∑nk=1∫????z??k????0f(•,t•,)D??kg(•,t•,)??d??t，f∈H(U??n),显然T??g是线性算子.对［0,1)上的连续函数μ(r)>0，如果存在常数a,b(0（??i??）μ(r)(1－r)??a在［0,1)上递减且?┆?lim????r→1??－μ(r)(1－r)??a=0，(??ii??)μ(r)(1－r)??b在［0,1)上递增且?┆?lim????r→1??－μ(r)(1－r)??b=∞，则称μ为［0,1)上的一个正规函数.作为一个加权，正规函数μ通常被用来定义混合模空间［1］.设μ是一个正规函数，U??n上的全纯函数f如果满足?┆?sup????z∈U??n∑nk=1μ(z??k)??f(z)??z??k则称f属于μ?勃?Bloch??空间β??μ(U??n)；规定其范数为‖f‖???│陋?μ??=f(0)+?┆?sup????z∈U??n∑nk=1μ(z??k)??f(z)??z??k.易知这样定义的β??μ(U??n)为??Banach??空间.由文献［2］可知，若?┆?lim????z→??U??n∑nk=1μ(z??k)??f(z)??z??k=0,则f为常值函数.显然全纯多项式函数都属于β??μ(U??n)，将多项式全体在β??μ(U??n)中的闭包称为U??n上的小μ?勃?Bloch??空间，记为β???│?,0??(U??n).显然β???│?,0??(U??n)是β??μ(U??n)中闭的真子空间.对于多圆柱上的??Bloch??空间，文献［3-5］讨论了复合算子的有界性和紧性问题；文献［6］刻画了加权复合算子的有界性和紧性；文献［7］刻画了加权??Cesàro??算子的有界性和紧性；而文献［8］则在单位球上讨论了μ?勃?Bloch??型空间之间的加权??Cesàro??算子.本文将在多圆柱上讨论μ?勃?Bloch??型空间之间的加权??Cesàro??算子的有界性和紧性.本文将用记号c来表示与变量z,ω无关，可以与某些范数或有界量有关的正常数，不同的地方可以表示不同的正常数.2有关引理及证明引理1设μ为［0,1)上的一个正规函数，若f∈β??μ(U??n)，则f(z)≤1+∑nk=1∫????z??k????0??d??tμ(t)‖f‖???│陋?μ??,??z∈U??n??.证明因为f(z)－f(0)=∑nk=1［f(0,…,0,z??k,…,z??n)－??f(0,…,0,z????k+1??,…,z??n)］=??∑nk=1z??k∫??1??0??f(0,…,0,tz??k,z????k+1??,…,z??n)??z??k??d??t,从而f(z)≤f(0)+∑nk=1z??k∫??1??0??f(0,…,0,tz??k,z????k+1??,…,z??n)??z??k??d??t,又因为‖f‖???│陋?μ??=f(0)+?┆?sup????z∈U??n∑nk=1μ(z??k)??f??z??k(z)，所以|f(0)|≤‖f‖???│陋?μ??,??f??z??k(z)≤‖f‖???│陋?μ??μ(z??k),从而f(z)≤1+∑nk=1∫????z??k????0??d??tμ(t)‖f‖???│陋?μ??，z∈U??n.引理2［9］设μ为［0,1)上的正规函数，μ(r??s)=2????－s??（s=1,2,…），n??s是(1－r??s)????－1??的整数部分，记h(ξ)=1+∑∞s=12??sξ????n??s??,ξ∈D，则（1）?@h(r)关于r在［0,1)上严格递增且?┆?inf?...