专题28立体几何的向量方法一、考纲要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．二、概念掌握及解题上的注意点：1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.3.利用向量法求异面直线所成的角的步骤1）选好基底或建立空间直角坐标系.2）求出两直线的方向向量v1，v2.3）代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.4.求线面角方法：1）线面角范围，向量夹角范围为[0，π].2）线面角θ的正弦值等于斜线对应向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值.即sinθ＝.AB即斜向量，n为平面法向量.例5.（2020天津卷）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令z=1，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令z=1，可得．因此有cos＜＞=，于是sin＜＞=．∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；例6.（2020浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】：（I）证明： A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴AA1∥BB1， AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴AA12=AB12+A1B12，∴AB1⊥A1B1，同理可得：AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，∴AB1⊥平面A1B1C1．设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（﹣，1，0），∴cos＜＞===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．例7.（2020上海卷）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【答案】（1）；（2）arccos【解析】：（1） 圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．立体几何向量方法一、选择题1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交【答案】B【解析】： n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.18．如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．【答案】见解析则n＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC上存在一点F，且CF＝λCP(0≤λ≤1)，使得BF∥平面AEC，则BF·n＝0.又 BF＝BC＋CF＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，∴BF·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．19．如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.(1)若M为CD的中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．【答案】(1)见解析；(2)【解析...