习题1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）,（2）,（3）,（4）.解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积.若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，.（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2.设物体以速度作直线运动，用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S.解：RORRxy2A(2)-1-1111AA1Ox(1)Oxy1-13A4A5A2ππ(3)111O1xyA66A(4)3.用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记,则.4.利用定积分定义计算.解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对等分，分点取相应小区间的右端点，故===当（即），由定积分的定义得：=．5.利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由,得或.比较的大小，知，由定积分的估值公式，得,即.6.利用定积分的性质说明与，哪个积分值较大？解：在区间内：,由比较定理：7.证明：.证明：考虑上的函数，则，令得，当时，，当时，.∴在处取最大值，且在处取最小值.故，即.8.求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值9.设在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何有.证明：==其中,又单调减，则，故原式得证.习题5-21．设，求.解：，2．设，求.3.计算下列各导数.（1）；（2）；（3）解（1）（2）（3）4.计算下列各定积分：（1），（2），（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）（11）,（12）,(13).解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）.（7）===.(8)==.(9)===.（10）===.（11）.（12）=+==2+2=4.(13)=.5.求下列极限（1）,（2）.解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得==（2）.6.求函数极值点.解：当令，得驻点，和，在，，在单调递减；在，，在单调递减；在，，在单调递减；所以为极小值点，为极大值点.为极小值点，7.设，求.解：.8.设，求，并讨论在上的连续性.解：当时，当时，故,显然，在和上连续，在处，，又，故在也连续，从而在上连续.9.设是连续函数，且，求.解：令，则，从而，即，∴.10．.解：原式.11．求.解：原式.12．求由所决定的隐函数对的导数.解：将两边对求导得∴.13.设为连续可微函数，试求并用此结果求解故.14.设在内连续且，证明函数在内为单调增加函数.证因为=，=,所以因为,且当时,,得,因此，，即，所以在内为单调增加函数.15.证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则在开区间内至少存在一点，使.证：因连续，故它的原函数存在，设为，根据牛顿-莱布尼茨公式，有,显然，函数在区间满足微分中值定理的条件，按照微分中值定理，在开区间内至少存在一点，使得故习题5-31.下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）===.（2）===2=2.答：（1）不正确，应该为：=（2）不正确，应该为=2.2.计算下列定积分:(1)；(2)；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；(10)；(11)；（12）.解：（1）令=,则,当=0时，=0；当=4时，，于是=（2）==.(3).(4).(5)令，，，时；时，.于是.(6)令，则，.当时，，当时，.原式.(7)令，.当时，；当时，.原式(8)因为=从而=.(9)原式.(10)原式.(11)原式..（12）设，，于是=.3.计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；(5)；(6)；(7)；(8)；（9）；（10）.解：（1）===.(2)==＝=1.(3)==移项合并得.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.而,,故,（10）.4.利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）;(2)；(3);（4）.解：(1)=.(2)原式.(3) 为奇函数,∴.（4）利用定积分的线性性质可得,原式,而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，原式,5.如果，且求,解：由已知条件得，即，，即得.6.证明：.证明：令，则，,7.若在区间上连续,证明(1)=;(2)=,由此计算.证明：（1）设.且当时，；当故.（2）设，=利用此公式可得：====.8.设在上连续，证明.证明.令，，则故.9.设是以为周期的连续函数，证明：.证明.令，则( 以为周期)故.10.设在上连续，证明：证明利用分部积分法，=11.计算.解令则而所以.习题5-41.下列解法...