群论统一几何学的历史根源邓明立/张红梅【专题名称】科学技术哲学【专题号】B2【复印期号】2008年05期【原文出处】《自然辩证法通讯》(京)2008年1期第75～80页【作者简介】邓明立,现任河北师范大学数学与信息科学学院教授;张红梅,现任石家庄学院助教,近现代数学史硕士,石家庄学院数学系。(石家庄050016)【内容提要】本文通过分析克莱因在几何学方面的主要贡献，分三个层次深入探讨了他用变换群统一几何学的历史根源。普吕克的工作为克莱因统一几何学做了早期准备；凯莱关于射影几何、度量几何之间关系的阐明又为克莱因统一几何学奠定了理论基础，成为用变换群统一几何学的前奏；若尔当的《置换与代数方程专论》和《关于运动群的研究报告》为克莱因提供了统一几何学的工具——变换群。克莱因高屋建瓴，从变换群的角度对各种几何学进行了分类，并于1872年发表了著名的《爱尔兰根纲领》，实现了几何学的统一，从根本上革新了几何学观念，导致了对几何基础的深入研究。【关键词】克莱因/射影几何/度量几何/变换群/几何学的统一〔中图分类号〕011〔文献标识码〕A〔文章编号〕1000-0763(2008)01-0075-06群结构是数学家最早研究的代数结构之一，是推动数学朝着统一化方向发展的一个非常重要的基本结构，群论的诞生预示了这种统一性的必然趋势。然而群的产生却是多元的——数论的、代数的和几何的，特别是，群论诞生于几何学，反过来又为相互割裂的几何学提供了统一的基础，使几何学在更高层次上实现了统一。几何学发展到19世纪，进入了发展的黄金时期，各种几何学如雨后春笋般不断涌现，且呈现出许多崭新的特点：几何对象的扩大化，研究方法的多样性，以及研究成果的多姿多彩。可以说，19世纪几何学的发展对整个数学产生了不可忽视的影响，同时是群论诞生的三大历史根源之一。1872年，克莱因发表了所谓的爱尔兰根纲领，引起了“群”的刻画乃至“群”定义的重大改变，推动“置换群”向“变换群”过渡，最终导致了“群”含义的扩张。从这种意义上来讲，爱尔兰根纲领是群论发展史上的一个重要里程碑，是用群论思想统一几何学的理论基础。然而，目前关于克莱因用群的观点统一几何学的历史研究，要么只是从单一方面加以论述，如：H.Wussing[1]、J.J.Gray[2]和M.Kline[3]；要么只是对此作一简单概述，如：DavidE.Rowe[4]；还有的是仅对爱尔兰根纲领的历史地位及影响简单进行评价，如：ThomasHawkins[5]、DavidE.Rowe[6]。总之，这些文献都没能从宏观意义上、全面而深入地给予系统研究。爱尔兰根纲领作为几何学发展史上的一个重要里程碑，它的问世、传播及其对后来数学发展的影响，都值得我们进行深入细致的探讨，因此全面而系统地研究这一课题具有重大意义。一、克莱因在几何学方面的主要学术活动克莱因(FelixKlein,1849-1925)是19世纪优秀的数学家、数学史家以及数学教育家。他创立了爱尔兰根纲领，研究了自守函数，还积极参与了数学教育的改革，对推动19世纪数学的发展做出了不可磨灭的贡献。1865年，克莱因升入波昂大学，学生时期便引起了几何学家、物理学家普吕克(JuliusPlücker,1801-1868)的注意。当时，普吕克正致力于撰写《基于以直线为空间元素的新空间几何学》，试图把解析几何学建立在以直线为元素的基础之上。第二年，就任命仅17岁的克莱因为自己的助手。克莱因在那儿他逐步学习了线几何学，并充实了有关射影几何学的知识，同时研读了英国数学家凯莱(ArthurCayley,1821-1895)的有关著作，并在普吕克的指导下，顺利完成了博士论文“线坐标的一般二次方程到典则形式的变换”[7]，于1868年12月12日获得了博士学位。1868年5月，普吕克突然去世。从此，《基于以直线为空间元素的新空间几何学》（第二卷）出版的艰巨任务落到克莱因和克雷布什(RudolfFriedrichAlfredClebsch,1833-1872)的肩上，克莱因当时虽然还不到20岁，但已经享有线几何学权威的声望，而克雷布什的研究方向正是方兴未艾的不变量理论和代数曲面论。1869年初，克莱因来到哥丁根，加入了克雷布什的研究队伍。与克雷布什一起对《基于以直线为空间元素的新空间几何学》的第二卷内容进行了必要补充，并从后者那里学到了不变量...