2019-2020学年高二下学期期中测试卷01数学（理）试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：选修2-2．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（）A．1B．-1C．D．2．曲线与轴所围成的封闭图形的面积为（）A．2B．C．D．43．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是()A．乙、丙两个人去了B．甲一个人去了C．甲、丙、丁三个人去了D．四个人都去了4．函数的导函数，满足关系式，则的值为（）A．6B．C．D．5．设，，则（）A．B．C．D．6．若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数等于（）A．0B．1C．D．7．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．以上均不正确8．已知，若，则的值为（）A．B．C．D．19．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）A．B．C．D．11．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（）A．B．C．D．12．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．一辆汽车沿直线方向行驶，刹车后汽车速度（v的单位：m/s，t的单位：s），则该汽车刹车后至停车时的距离为____________米.14．设复数满足，则的最大值是_______.15．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式________________________________成立.16．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，且为纯虚数．（1）求复数；（2）若，求复数的模．18．（12分）观察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)个等式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.19．（12分）已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且.（1）求的解析式．（2）求曲线与曲线所围成的图形的面积.20．（12分）已知正项数列满足，且，设（1）求证：；（2）求证：；（3）设为数列的前项和，求证：.21．（12分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）22．（12分）已知函数，设的导函数为．（1）求证：；（2）设的极大值点为，求证：．（其中）