用待定系数法求三角函数最值摘要：待定系数法，是中学数学中的一种重要求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出对应系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。关键词：待定系数法；三角函数；最值求解中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2015）14-274-02使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，其解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，转化为方程组来解决。使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：1、利用对应系数相等列方程；2、由恒等的概念用数值代入法列方程；3、利用定义本身的属性列方程；4、利用几何条件列方程.要判断一个问题是否可用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达式，所以都可以用待定系数法求解，在此不一一列举说明。下面主要谈一下待定系数法在求三角函数最值中的一种应用。求三角函数的最值方法众多，常用的方法有：1、配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；2、化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；3、数形结合法（常用到直线斜率关系）；4、换元法（如万能公式，将三角函数问题转化为代数问题）；5、均值不等式法.在用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件.从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实是既“活”又“巧”的问题。对此问题，现举几例来探析利用待定系数法求三角函数的最值。例1：设x∈（0，π），求函数的最小值.解析：拿到此题，很容易想到下面的解法.因为sinx>0，所以≥=，故ymin=。显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件.由得sinx=，这样的x不存在，故为错解。事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0将λ=1代入，得ymin=3.例2：求函数的最小值.解析：易得由均值不等式得但，故上式不能取等号.于是引入待定正实数，则有当且仅当且sin22x=1时等号同时成立，此时，所以当sin22x=1时，y有最小值为.例3：当x∈（0，）时，求函数的最小值。解析：因为x∈（0，），所以sinx>0，cosx>0，引入大于零的待定系数k，则函数可变形为+kcos2x-k≥3+-k=12，等号成立当且仅当，时成立。由sin2x+cos2x=1，。得，即k2=64，又k>0，所以k=8。故函数y的最小值为，此时x=。例4：设x∈（0，），求函数y=sinx+的最小值。解析：因为x∈（0，），所以sinx>0，y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但，故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。因为x∈（0，），所以sinx>0。因为故≥，等号当且仅当且sinx=1，即k=时等号同时成立。从而，故函数y=sinx+的最小值为2。三角函数的最值都是在给定区间上的，因而特别要注意题设中所给的区间，同时三角函数求最值时，一般都要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及函数的有界性。下列两题供读者练习：1、设x∈（-，），求函数的最小值。2、设x∈（0，），求函数的最小值。（上接第270页）定要争气》后，学生质疑：谁要争气？为什么要争气？怎样争气的？其次是给学生提供独立思考的机会。再次要重视理论与社会、科学和生活实际的联系，用所学的知识去分析解决现实生活中与人类生存密切相关的各个方面的问题，在探究发现新的问题，探究解决的方...