第五章四边形微专题四边形中辅助线的作法综合提升1.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．第1题图2.(2020原创)如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，垂足为C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE.(1)求证：四边形ACED是矩形；(2)若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．第2题图3.(2019荆门)如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2.(1)求平行四边形ABCD的面积；(2)求证：BD⊥BC.第3题图4.如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．第4题图参考答案综合提升1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(AAS)，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；(2)解：在Rt△ABE中，AB＝6，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，∴在Rt△ADE中，DE＝＝5.由(1)得△AEB≌△CFD，∴BE＝DF＝3，∴EF＝DE－DF＝2，∴SAECF＝2S△AEF＝2××3×2＝6.2.(1)证明：由折叠性质得BC＝CE，在ABCD中，BC＝AD，BC∥AD，∴CE＝AD，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°，∴四边形ACED是矩形；(2)解：在矩形ACED中，AC＝DE＝4，∠DEC＝∠ACE＝90°，由折叠性质可知B，C，E三点共线，∴BE＝BC＋CE＝3＋3＝6，在Rt△BED中，由勾股定理得：BD＝＝2，在Rt△ABC中，同理可得AB＝5，如解图，过点A作AF⊥BD于点F，∴S△ABD＝BD·AF＝AD·DE，∴2·AF＝3×4，∴AF＝，在Rt△AFB中，sin∠ABD＝＝＝.第2题解图3.(1)解：如解图，作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，设BE＝x，CE＝h，在Rt△CEB中，x2＋h2＝9①，在Rt△CEA中，(5＋x)2＋h2＝52②，联立①②解得x＝，h＝，∴平行四边形ABCD的面积为AB·h＝12；第3题解图(2)证明：如解图，过点D作DF⊥AB于点F，易得△ADF≌△BCE，∴AF＝BE＝，DF＝.∴BF＝AB－AF＝5－＝.在Rt△DFB中，BD＝＝＝4.又∵BC＝3，DC＝5，DC2＝BD2＋BC2，∴BD⊥BC.4.(1)证明：如解图①，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，第4题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB.∵EM⊥AD，EN⊥AB，∴EM＝EN.∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN.∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF.又∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形；(2)解：【解法提示】如解图②，过点E作EH⊥DF于点H，第4题解图②∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD.∵F是AB中点，∴AF＝FB＝2，∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥DF，∴DH＝HF＝EH＝.∵AF∥CD，∴AF∶CD＝FM∶MD＝1∶2，∴FM＝DF＝，∴HM＝HF－FM＝，在Rt△EHM中，ME＝＝.