专题04导数的概念与应用【自主热身，归纳提炼】1、曲线y＝x－cosx在点处的切线方程为________．【答案】2x－y－＝0【解析】：因为y′＝1＋sinx，所以k切＝2，所以所求切线方程为y－＝2，即2x－y－＝0.2、在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．【答案】－e【解析】：因为y′＝，所以曲线y＝lnx在x＝e处的切线的斜率k＝y′x＝e＝.又该切线与直线ax－y＋3＝0垂直，所以a·＝－1，所以a＝－e.3、若曲线C1：y＝ax3－6x2＋12x与曲线C2：y＝ex在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为________．【答案】－【解析】：因为y′＝3ax2－12x＋12，y′＝ex，所以两条曲线在x＝1处的切线斜率分别为k1＝3a，k2＝e，即k1·k2＝－1，即3ae＝－1，所以a＝－.4、在平面直角坐标系xOy中，记曲线y＝2x－(x∈R，m≠－2)在x＝1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为________．【答案】－3或－4【解析】：y′＝2＋，y′x＝1＝2＋m，所以直线l的方程为y－(2－m)＝(2＋m)(x－1)，即y＝(2＋m)x－2m.令x＝0，得y＝－2m；令y＝0，x＝.由题意得－2m＝12，解得m＝－3或m＝－4.5、设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的单调增函数，则实数m的值为________．【答案】6【解析】:因为f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)，又函数f(x)是R上的单调增函数，所以12x2＋2mx＋(m－3)≥0在R上恒成立，所以(2m)2－4×12(m－3)≤0，整理得m2－12m＋36≤0，即(m－6)2≤0.又因为(m－6)2≥0，所以(m－6)2＝0，所以m＝6.6、已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为．【答案】（5，0）【解析】由，所以，，所以，()fx在01,上单调递增，即至多有一个交点，要使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，即500mm，从而可得m(－5,0)．7、已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d均为常数)上．若曲线C在点A，B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.【答案】：7【解析】由题意得y′＝3ax2＋2bx，因为k1＝k2，所以3a＋2b＝3a－2b，即b＝0.又a＋d＝1，d－a＝－3，所以d＝－1，a＝2，即a3＋b2＋d＝7.8、已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.【答案】：－3e9、曲线f(x)＝·ex－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________________．【答案】：y＝ex－【解析】：因为f′(x)＝·ex－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝ex－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.应注意“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别，前者表示此点即为切点，后者表示此点不一定是切点，过此点可能存在两条或多条切线．10、已知函数在3x时取得极值，则a的值等于．【答案】：3【解析】，根据题意'(3)0f，解得3a，经检验满足题意，所以a的值等于3．11．已知三次函数在(,)x是增函数，则m的取值范围是．【答案】：24≤m≤【解析】，由题意得恒成立，∴，∴24≤m≤．12、若函数在开区间2(6)aa,既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是．【答案】：{2}．【解析】：函数()gx在1x处取得极小值(1)2g，在x1处取得极大值(1)2g，又因为函数在开区间2(6)aa,内既有最大值又有最小值，所以即a的取值范围是{2}．【问题探究，开拓思维】例1、若直线2yxb为曲线exyx的一条切线，则实数b的值是．【答案】：1【解析】：设切点的横坐标为0x，由曲线xyex，得1xye，所以依题意切线的斜率为，得00x，所以切点为(0,1)，又因为切线2yxb过切点(0,1)，故有120b，解得1b.(3)当a＝1时，记h(x)＝f(x)·g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)思路分析第(2)问，由于问题中含有参变量a，因此，函数的单调性及单调区间就随着a的变化而变化，因此，就需要对参数a进行讨论，要讨论时，注意讨论的标准的确定方式：一是导函数是何种函数；二是导...