专题19等比数列一、考纲要求：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．二、概念掌握及解题上的注意点：1.解决等比数列有关问题的两种常用思想1方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a1和q，问题可迎刃而解.2分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.2.等比数列的三种常用判定方法1定义法：若＝qq为非零常数，n∈N*，则{an}是等比数列.2等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2n∈N*，则数列{an}是等比数列.3通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qnc，q均是不为0的常数，n∈N*，则{an}是等比数列.三、高考考题题例分析：例1.（2020课标卷I）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=．【答案】﹣63∴S6==﹣63，故答案为：﹣63例2.（2020课标卷III）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．【答案】（1）an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1（2）m=6（2）记Sn为{an}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，Sn===，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．例3.(2020课标II)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：71238112x，解得3x，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。例4.(2020浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.【答案】1121【解析】：1221124,211,3aaaaaa，再由111121,21(2)23(2)nnnnnnnnnaSaSnaaaaan，又231aa，所以515133(1),S121.13nnaan例5.(2020高考新课标1卷)设等比数列na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．例6.(2020高考新课标III)已知数列{na}的前n项和1nnSa，其中0．（I）证明{na}是等比数列，并求其通项公式；（II）若53132S，求．【答案】（Ⅰ）1)1(11nna；（Ⅱ）1．【解析】:(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0．由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan．由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝．因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1．(2)由(1)得Sn＝1－n．由S5＝得1－5＝，即5＝．解得λ＝－1．例7．(2020·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.【答案】6例8(2020·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.【答案】1【解析】:设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1.等比数列练习一、选择题1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝()A．－B．－2C．2D．【答案】D【解析】:由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝②，由②÷①得q3＝，解得q＝.故选D．2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【答案】D【解析】:由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.3．已知{an}为各项都是正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝()A．150B．－200C．150或－200D．400或－50【答案】A4.在等比数列{an}中，a3＝7，前3...