曲线运动中瞬时速度和加速度不能在一条直线上吗曲线运动中物体的瞬时速度和加速度不可能在一条直线上吗？本来我以为是可能的，但学生的练习题中出现了几次，总是认为二者是不可能在一条直线上的。今天又做了去年保定期末联考的试题，又有这个问题出现。看来，这个问题是有必要讨论一下的了。的确，高中物理课本中有明确的说明：物体做曲线运动的条件是合力的方向和速度方向不在一条直线上。当合力的方向与速度的方向在一条直线上时物体将做直线运动。但这很可能是众多的作者为了表述通俗而说的不严格的规律之一。直觉总让我觉得两者的方向在某一瞬间是可能在一条直线上的，虽然物体在做曲线运动。先看下面的实验：如图1所示，一个在光滑水平桌面上做匀速直线运动的小钢球，在旁侧放一磁铁，磁铁将给小钢球一个力使它将偏离原来的直线，沿曲线运动。现在在小球运动到轨迹的某一点M时，迅速地将磁铁转过一个角，如图2所示。这时小球所受到的合力（磁铁给小球的力）也将随着磁铁转过一个角。它将连续地经过与之间的任何一个方向。另一方面，由于磁铁的转动是迅速的，我们可以认为速度方向还没有来得及发生改变。那么，在力转动的过程中，必有一个时刻，它的方向是与瞬时速度方向在一条直线上的。MF1F2v图1图21总之，在上面谈到的运动中，小球一直在做曲线运动，但我们从中找到了一个时刻，在这个时刻时，小球所受合力的方向与瞬时速度的方向在一条直线上。下面我们进一步从理论上来澄清这一问题。实际上，物体做曲线运动，是由于存在指向轨迹凹侧的向心力的作用。而向心力不等于零正是合力不与速度共线的根本原因。但向心力在瞬间真的不能为零吗？我们知道向心力的表达式是：…………………………………………（1）其中r指的是曲线的曲率半径。那么问题现在又变成了：一条曲线（非直线的曲线）上，真的就没有一个点的曲率半径可能为零吗？我们考虑一个简单的曲线，图3为它的图象。如果它是一质点的运动轨迹，那么运动到x=0的位置上时，合力应该指向哪个方向呢？或者换句话说，曲线的凹侧是哪一侧呢？这是难以判断的。我们从另一个角度来考虑，先求一下曲线在该点的曲率半径，再代入向心力的表达式进行讨论。由高等数学知道，计算曲线曲率的公式为：…………………………………………（2）对于来说，有：因此在x=0处的一阶导数和二阶导数都是0。由曲率公式知。根据曲率半径和曲率的倒数关系知，在x=0处的曲率半径为无限大。结合（1）式知，xyO图32。这就是说当物体沿曲线运动时，经过x=0处时没有法向分力（向心力），它的合力或者为零或者沿着切线方向。对于沿着切线方向的情况来说，则恰好合力（加速度）与速度方向相同。下面图中又是一个例子，一个小球穿在一个光滑的方程是的曲线上。将曲线以O为转动中心逆时针转过一个锐角，则小球由静止释放经过O点时的合力（加速度）与瞬时速度同向。二零一一年六月二十四日二零一一年七月五日修改河北安国中学(071200)于永刚xyz0037_2001@sohu.com电话：13653120135QQ：149100550xyO图43