第一章绪论逼近的目的，就是用简单的函数来逼近复杂的函数，数值逼近各种方法求得的数学问题的解，只是其一个近似解，与准确解之间存在着误差。误差模型误差：忽略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想化”；观测误差：受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响；截断误差：模型难于直接求解，其近似解与精确解之间的误差；舍入误差：运算过程中，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入。例1求时，可将展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如n项）计算部分和作为的值必然产生误差，其误差为：这个误差就是“截断误差”。误差分析在本课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。误差的相关概念误差、误差限、有效数字相对误差限及与有效数字的联系四则运算结果的误差限在近似计算中应该注意的事项误差的概念定义1.1设x为准确值，为x的一个近似值，称为x近似值的绝对误差，简称误差。注:①误差是有量纲的量，它可正可负②绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值③绝对误差为负时，近似值偏小，叫弱近似值绝对误差限通常我们并不知道准确值x,也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况相对误差估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值的误差限，记为。即：在工程中常记为：相对误差：定义1.2误差与精确值的比值：称作近似值的相对误差，记作。注：相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。相对误差限相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：就是相对误差限．当较小时，可以忽略不计，所以以后我们就用表示相对误差限。有效数字位数定义1.3设x为准确值，为x的近似值，可表示为（m为整数）其中～为0,1,2…9中一个数字。如果误差满足即误差不超过某位的半个单位。称该位到第一位非零数字为的有效数字，即有n位有效数字，或者说准确到该位。如果误差满足：则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的个数称为有效位数。有效数位为3位有效数字与误差限关系的定理定理1.1设近似，有n位有效数字，则其相对误差限为3.14160.0000074有效数位为5位3.14150.0000926有效数位为4位定理1.2设近似值的相对误差限为：，则它有n位有效数字。四则运算结果的误差限在近似计算中应该注意的事项1.避免两个相近的数相减；2.避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；解得：解得：3.要防止大数“吃掉”小数；4位有效数字舍入运算：0.4+0.3+0.2+0.1+1234=1235①事先预防1234+0.4+0.3+0.2+0.1=1234②事后解决4.尽可能减少运算次数；5.要设法控制误差的传播。