文章编号:1009-3907(2005)04-0055-04关于定积分计算中的技巧性杨罗辉(长沙环境保护职业技术学院,湖南长沙410004)摘要:主要讨论了定积分计算中的换元法的技巧性,含参量积分的性质与利用,对称性的巧用,函数周期性的妙用。对于定积分的计算,不但要掌握方法,长的计算,除了耐心,细致,准确之外,还要讲求效率。因此,更重要的是要培养能力。面对冗掌握简便的计算方法十分必要中图分类号:O17212文献标识码:B牛顿2莱布尼兹公式使定积分的计算与不定积分联系起来,但这不等于说,定积分计算只是求原函数运算与牛顿2莱布尼兹公式的简单组合。定积分计算有着其特殊的方法和技巧。本文主要从4对于第二个积令π分,-t=u做换元时,有4ππ-∫4lndt=∫0lncostdt,所以I中的4cost40第二个积分与第三个积分相互抵消,故得ππI=∫ln42dt=ln2.换元法(1)对于原函数不能用初等函数来表示的,1801-t解法2令x=1+t得:此2时利用定积分性质和换元积分法往往可以使一些积分项相互抵消,最终求得这个定积分的值。ln11+t1ln21ln(1+t)I=∫01+t2dt=∫01+t2dt-∫01+t2dt.1ln(1+x)例1计算I=∫0dx.1+x2第二个积分项与原式相同故可以和原式合并,解法1令x=tgt得π即1=πI=∫4ln(1+tgt)dt1∫01+t22I=ln2dtln2,t0ππ=∫4lncost+snitdt因此I=8ln2。cost0我们并未求出ln(1+x)的原函数却算出了其定π1+x2πcost+cos-t2=∫4lndt积分值。(2)根据被积函数与积分区间上的特点恰当选取换元式。cost0πππ2coscos-t44=∫4lndtcost0例2设f是连续函数,证明πππa2a2aa∫ln4dxdx∫1f=∫1cosdt2-t-x+x+.4x20π0xxx22分析:要证明原式成立,使x2+a向t+a转∫4lncostdt.x2t0收稿日期:2005203228作者简介:杨罗辉(1965-),女,四川省绵阳市人,长沙环境保护职业技术学院讲师,主要从事高等数学教学工作。56长春大学学报第15卷化,只需令t=x2,则1ln(1+x)∫0例4计算(1)I=dx,1+x2222aaadx1adtI=∫1f2∫2x+=ft+.ba1=∫x-xdxx2xtt(2)解:(b>a>0).Ilnx0显然,积分区间没有满足题目要求,如何使(1)此题在例1已有2种解法,在这里还[1,a2]中之t向[1,a]中之u转化?利用区有1种解法:引入参量α222aaaaa间可加性∫1f=∫1f+∫af再将∫af向∫1f转化。1ln(1+αx)I(α)=∫,dx1+x202不难看到只要令u=a于是I(0)=0I=I(1),则t11x=∫2×2I′(α)dxa2a2aadtdu∫af=∫11+αx01+xt+u+u.ttuπα12ln2+-ln(1+α)=;证明:令t=x2,则421πa22∫aadx1adtI=∫1f2∫再积分得I′(α)dα=ln2-I(1),2x+=f2t+4x20xtatdtπ2I(1)=4ln222从而aa=1dt+12∫1fa2∫aft+t+ttttπ于是I=I(1)=8ln2.=I1+I2.2ba而令u=a,x-x有(2)先将被积函数表示为含参量积分tlnx222byaa1dt1du=∫xdy,再将定积分化为二次积分,利用积分aa2∫2∫I2==ft+=fu+ttuua顺序可交换性知I1.1bb1ba2=∫dyaI=∫dx∫xydy=∫dy∫xydxdtI=2I1=∫1ft+于是.ay+1tt0aa0=lnb+1.先让被积函数满足题目要求而定换元式再由a+1其方法如下:①利用积分号下可求导性计算定积分的方法与步骤。区间可加性,对[a,a2]上的积分让被积函数与积分区间均满足题目要求而确定换元式。2dx例3计算I=∫1.(x-1)(2-x)ba.在所计算的定积分I=∫afxdx的被积函()解:由于1<x<2,则有0<则2-x-1<1。令x=sint。于是πx-1=cost,0<t<2,数f(x)中引进参量α化为含参量积分I(α);定积分I是I(α)的一个值,一般取I=I(a)或I=I(b);02cost(-sint)I=∫dt=πb.求出I(α)=G(α);costsint2bb∫aGd=Ib-Ia。(α)α()()a均满足要求,往往先使其一满足要求,再使两者均bI(a)=∫G(α)dα解出I(α)或d.由I(b)-满足要求,特别是区间可加性的运用至为关键。换元式的选用,还取决于恒等变形方法与技巧。aI(b)即得所求I。②利用积分顺序可交换性计算定积分的方法和步骤。用含参量积分的性质计算定积分有些定积分,用换元法和分部积分法不易计算出来,甚至有的函数的原函数不能用初等函数表示出来,此时可借助于含参量积分。在被积函数中引入参量化成含参量积分或将被积函数化为含参量积分。利用含参量积分的性质:积分号下可求导性或积分顺序可交换性计算定积分。21a.将所求定积分I=∫cf(a,b,xdx的被积函)b数f(a,b,x)化为参量积分∫f(x,y)dy;adbb.将定积分I化为累次积分I=∫cdx∫afx,(y)dy;11+α2第4期杨罗辉:关于定积分计...