具有线性收获比率依赖捕食系统的Hopf分支崔国虎（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州730070）摘要：应用城分方程的定性理论与分支方法探讨一类具有线性收获和HollingII比率依林函数捕食系统的平衡点与Hopf分支.首先通过定性理论对系统奇点性态进行分析讨论，然后利用Hopf分支理论给出了系统Hopf分支的存在性、分支方向及周期解的稳定性条件.最后，给出相应的数值模拟.关■词：捕食系姣u平衡点；极限环；Hopf分支中图分类号：0175文标识码：A文章编号：1001-988X（2010）04・0006-04Hopfbifurcationsinaratio-dependentpredator-preysystemwithlinearharvestingCUIGuo-hu(SchoolofMathematics>PhysicsandSoftwareEngineering!LanzhouJiaotongUniversity♦Lanzhou730070.Gansu•China)Abstract：TheHopfbifurcationsofthepredator-preysystemwithHolling'stype口functionalresponsearemainlyinvestigatedbyusingthequalitativetheoryandthemethodofbifurcations.First>thebehaviourofequilibriumpointsisdiscussedbymeansofthequalitativetheory,andthentheexistence,stabilityandperiodicsolutionsoftheHopfbifurcationareobtainedbyHopfbifurcationtheory.Finally*numericalsimulationssupportingourtheoreticalpredictionsarealsogiven.Keywords:predator-preysystem；equilibriumpoint?limitcycle；Hopfbifurcation一般地.具有HollingU功能反应的比率依赖捕食食饵系统可以表述为微分方程组模型其中，分别表示食饵和捕食者的种群密度，K表示食饵的进位容量，d>o表示捕食者的死亡率.丁心为任意正常数且分别表示食饵的内在增长率、捕获率、半饱和常系数和转化率.文献［1］考虑了捕食者种群具有常数收获率/t时系统（I）在正平衡点处的全局稳定性及在参数的扰动下所体现出不同的分支.如鞍结点分支.超临界和次临界Hopf分支、同宿分支、异宿分支、Bogdanov-Tankens分支等.最近，文献［2］利用Hopf分支理论口］讨论了食饵种群具有线性收获率hx时系统（1）在正平衡点处的全局稳定性、Hopf分支的存在性、方向以及周期解的稳定性等.本文将在系统（1）的基础上结合文献［1］、［2］讨论捕食者种群具有线性收获率人，时系统的定性变化.首先，作无量纲参数变换可得如下简化模型‘=女1—刃一眾三y=，(_/+=H(H,，)・其中.为任意正常数且分别表示捕获率和转化率，人>0表示收获率.由生态意义，仅在D（HQ）=｛（工*）I工$0,，N0｝上进行讨论.收積日期：2009-10-14；修改積收到日期：2010-03^22墓金项目：国家自然科学基金资助项目（10961017）；兰州交通大学青蓝人才工程资助项目（QL-05-20A）作者简介：崔国虎（1980—），男，甘肃通渭人，硕士研究生.主要研究方向为微分方程定性理论与分支问题.E-mail：cuighl689@126・com1平衡点稳定性分析解方程组口1一工）一=¥0,二（3），（_/+丁石）_好=。・显然，系统（2）在区域D（HQ）={（HQ〉|工玄0,y>0}±有平衡点0（1,0）和E-（x.y）,其中工・=1+令（6-d-人），y=od十仇定理1系统（3）在D+（H,y）={（H,y〉|工>0,y>0}内存在正平衡点的充分必要条件是：max{0,b—d—下面讨论系统（2）的平衡点0（1,0）和E・（h,y・）的稳定性.系统（2）在平衡点O（1,0）和E-（x,y）处的线性矩阵为J（jc9y）=or2(x+j)2bxz其中x.y分别表示平衡点坐标./—1—a、J(l,o)=I)\o-d-h+b)j(x*=a(b——h——d)(b+h+d)一H帀(b—h—cP?b显然，当b>d+h时，O为鞍点）当b<d+h时，o为稳定结点.对于正平衡点E-（x,y）,记a（A）=（6-/-/0|>a+d）-a（6+/i+/）］|1,(h+d)(6—d——akb—h—d)]则其特征方程可表示为A2+皿）入+0⑴=0,因此，正平衡点E-（x,y）的稳定性取决于a（Q的符号，于是可得下述定理.定理2若max{0,6-d-VAV6-则1）当a（A）>0时E•为双曲稳定焦点或结点）2）当a（A）=0时E•为高次奇点，且在第一象限为弱焦点或中心$3）当a（A）<0时E为双曲不稳定焦点或结点.2Hopf分支通过以上讨论，可知当a（A）=0时，有h=A*,其中，,.___（2M—2ad—B\+6J0—2a）'+4（6—a）h=2（a-6），即系统（2）在正平衡点E•处有一对纯虚待征根AU2=±is）,其中5=JRW由Hopf分支理论门】可知，在参数...