8.6.2直线与平面垂直的判定导学案编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波【学习目标】1.掌握直线与平面垂直的定义2.握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直【自主学习】知识点1直线与平面垂直的定义1．如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．知识点2直线与平面垂直的判定定理1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．2．图形语言：如右图所示．3.符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.知识点3直线与平面所成的角1．如图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.【合作探究】探究一直线与平面垂直的定义及判定定理【例1】下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3【答案】D[解析]由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确．归纳总结：1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【练习1】如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l，同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.探究二直线与平面垂直的证明【例2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[证明](1) PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2) BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3) AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC. AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.归纳总结：线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件【练习2】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.(2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，又因为F是PC的中点，所以GF綉CD，所以GFAE.所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.因为PA＝AD，G是PD的中点，所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，因为CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.所以CD⊥AG.所以EF⊥C...