课下层级训练(三十八)直线、平面垂直的判定与性质[A级基础强化训练]1．(2019·山东潍坊月考)已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B[根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a，反之不成立，可能b与α相交或平行．∴“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．]2．(2019·山东日照检测)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PAB【答案】C[由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.]3．(2019·山东临沂月考)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A．①B．①②C．②③D．④【答案】A[在①中，设平面BCD上的另一个顶点为A1，连接BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，则CD⊥平面ABA1，故CD⊥AB，②③④均不能推出AB⊥CD.]4．(2019·山东诸城检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【答案】B[由l是直线，α，β是两个不同的平面，知在A中，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．]5．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是()A．(0,1]B．(0,2]C．(1，]D．[1,4)【答案】B[连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0<AD≤CD＝2.]6．△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________.【答案】2[作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2.]7．(2019·河南洛阳月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)[ PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]8．三棱锥SABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是________.【答案】①②③④[由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，④正确．]9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【答案】证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.10．(2019·山东烟台期末)如图，四棱锥SABCD的底面为平行四边形，DA＝DS，DA⊥DS，AB＝BS＝SA＝BD＝2.(1)求证：平面ASD⊥平面ABS；(2)求四棱锥SABCD的体积．【答案】(1)证明如图，取AS中点H，连接DH，BH，因为△ABS是等边三角形，AS＝2，所以BH⊥AS，且BH＝.又 DA⊥DS，SA＝2，∴DH＝1.在△DHB中，BD＝2，DH＝1，BH＝，∴DB2＝DH2＋BH2，∴BH⊥DH. BH⊥AS，AS∩DH＝H，∴BH⊥平面ASD.又 BH⊂平面ABS，∴平面ASD⊥平面ABS.(2)解由(1)知，BH⊥平面ASD，∴BH为三棱锥BADS的高．又S...