1.3.3已知三角函数值求角学习目标：1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)[自主预习·探新知]1．已知正弦值，求角ππ??－，??上有唯一那么在∈[－1,1])，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y22??ππ??其中－1≤y≤1，－≤x≤??.＝arcsin_y的x值和它对应，记为x22??2．已知余弦值，求角对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．3．已知正切值，求角ππ??－，??，那么对每一个正切值y∈，在开区间tanx(y∈R)且x＝一般地，如果y22??ππππ????－，－＜x＜????.＝y，记为x＝arctan_y内，有且只有一个角x，使tanx2222????思考：符号arcsina(a∈[－1,1])arccosa(a∈[－1,1])，arctana(a∈R)分别表示什么？ππ??[提示]arcsina表示在区间－，??上，正弦值为a的角，arccosa表示在区间22??ππ??][π0，，－??a的角．上余弦值为a的角，arctana表示在区间内，正切值为22??[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)ππ??－，??上，满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有1个．((1)在区间)22??(2)在区间[0,2π]上，满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有2个．()(3)在区间[0,2π]上，满足条件cosx＝a(－1≤a≤1)的x有2个．()页1第ππ??，－??)1个．(tanx＝a(a∈(4)在区间R)的x只有上，满足条件22??ππ??y在同一坐标系中，分别画出解析][，－??1)≤≤a1及y＝a(，＝sinxx∈－2122??的图象，1)a≤及y＝a(－1≤∈的图象，可知(1)正确．同理画出y＝sinx，x[0,2π]的解有一个或两个或三中x可知它们可能有一个或两个或三个交点，即sinx＝a(4)正确．(2)错误．对(3)及(4)利用同样的方法可知(3)错误，个，故√×(2)×(3)(4)[答案](1)√3)α＝，则α＝(2．已知α是三角形的内角，且sin2ππB.A.362πππ5π或或C.D.36362ππ3，故选或＝时，α＝，因为α为三角形的内角，所以α∈(0π)，当sinαD[332D.]3________.＝]，π，则．已知tan2xx＝－且x∈[033，[0，π][解析] x∈．[0,2π]∴2x∈3，tan2x＝－ 311π5π，2x＝∴2x＝或6611π5π.或x＝∴121211π5π][答案或1212]重难探究·攻合[作已知正弦值求角3＝x.已知sin2ππ??－，??时，求∈x的取值集合；x(1)当22??页2第x的取值集合；x∈[0,2π]时，求(2)当x的取值集合．当x∈R时，求(3)尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．[思路探究]πππππ3????在x(1) y＝sin解[]，－??是所求，∴＝，∴x上是增函数，且sin＝??322332????集合．ππ33??－π??＝，sin＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin (2)sinx＝＝3223??π2π，＝x＝或x∴在[0,2π]上符合条件的角有332ππ??，.的取值集合为∴x??33??(3)当x∈R时，x的取值集合为π2π?????＋πx＝2k?，或xx＝2kπ＋，k∈Z.??33?????[规律方法]1．给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．2．对于已知正弦值求角有如下规律：1)(|a≤|＝sinxaππ??－，??x∈22??x∈[0,2π]aarcsinx＝≤0a≤1－1≤a＜0arcsina＝x1aarcsin－＝πx2x＝π－arcsina1x＝2π＋arcsina2]跟踪训练[3.＝sin．已知αα，根据所给范围求角15R.(2)α(1)为锐角；α∈【导学号：79402030】π3??＝sin由于(1)][解α，0??∈α为锐角，即，且α，25??3.α所以＝arcsin5页3第33(2)由于sinα＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋arcsin(k∈Z)，1553α＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)，253n．∈Z)1)arcsin(n即α＝nπ＋(－5已知余弦值求角1已知cosx＝－，3(1)当x∈[0，π]时，求值x；(2)当x∈R时，求x的取值集合．[思路探究]解答本题可先求出定义arccosa的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．1[解](1) cosx＝－且x∈[0，π]，31??－??.＝arccos∴x3??(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．1 cosx＝－，故x是第二或第三象限角．31??－??是第二象限角，(1)知x＝arccos由3??1????－arccos2π－????又cos3??...