抛物线绕原点旋转之后的方程式

关于如何把二次函数图像绕原点旋转这个玩意儿纯属无聊…………故事:好像是在期末复习二次函数的时候,在说二次函数图象的时候,老师问我们:“把抛物线绕远点旋转180°的函数解析式是什么?”立刻有人回答。这时我和旁边的朱格都想到一块去了,异口同声的叫道:“45°,哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈…………”遂大笑不止。笑完之后我就开始思考了:对啊,把抛物线旋转45°岂不是很有趣?我开始想如何把抛物线旋转45°,并借此推广至所有的角度。但是期末复习时节比较忙。一直没去想。之后分流考之前一天,没什么作业(不想做寒假作业),就想到了这个东西。于是开始计算推导…………推导过程:抛物线旋转45°,就是把抛物线上的每个点都绕远点旋转45°得到的图形。这样出来的图形肯定不是类似于y=f(x)的函数了,每一个x对应两个y了都,只能用一个方程或者是参数方程来表示了。考虑到就是把抛物线上每个点都旋转45°,就联想到了这学期学的用矩阵表示图形变换。把一个图形逆时针旋转度的变换矩阵是:先用y=x²试试,把抛物线上的点用矩阵表示出来就是这样:做乘法:于是我们就得到了绕原点逆时针旋转45°的抛物线的参数方程:使用几何画板绘图验证:饿,很成功啊,证明可以用矩阵变换的方法得到抛物线绕原点旋转之后的图形。好了,现在开始一般化,把抛物线变成y=ax²+bx+c那么坐标矩阵就是:乘胜追击:一般化后的矩阵乘法:很长的乘法啊…………由此得到一般化后的参数方程:再次请出强大的几何画板验证:注:x轴上a,b,c,r点横坐标分别对应抛物线系数中的a,b,c以及(单位是弧度)看起来很不错啊,顺便再附上t的几何意义。由矩阵变换易知,旋转可以看做是把坐标给旋转了,由此t就代表旋转后抛物线的横坐标。后记:其实如果没有数学小论文这个作业的话这个玩意儿也没什么好写的,应付作业而已,所以还有篇论文就不写了。本文的东西估计随便拉个高中生都能解出来,用极坐标表示一下就好。对于刚学过线性代数的大学生更是不在话下,几分钟就好。本人无能,只能想到两个主意,只不过都比较弱智,就只写了这篇,其它能长篇大论的想法我实在没什么主意。

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