第6期华东师范大学学报(自然科学版)No.62021年11月JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience)Nov.2021文章编号1000-5641(2021)06-0058-07关于超椭圆纤维化的奇异性指数郭志明(苏州大学数学科学学院，江苏苏州215006)摘要：为了研究超椭圆纤维化，肖刚引入了一系列奇异性指数.然而第二个奇异性指数的非负性仍是不确定的问题.本文得到了局部情况下一组使第二个奇异性指数随着亏格增大趋近负无穷的例子.此外，通过分析分歧轨迹,得到了指定亏格时奇异性指数的一个下界估计.由此证明了g=2,3,4时纤维化第二个奇异性指数的非负性.关键词:代数曲面;超椭圆纤维化:奇异性指数中图分类号：0187.1文献标志码：ADOI:10.3969/j.issn.10(X)-5641.2021.06.007SingularityindicesofhypereDipticfibrationsGUOZhimingSchoolofMathematicalSciences,SoochowUniversity,SuzhouJiangsu215006.ChinaAbstract:Xiaointroducedaseriesofsingularityindicestosurveyhyperellipticfibrations.However,itremainsunknownwhetherthesecondsingularityindex,s?.isnon-negative.Inthispaper,Idemonstrateaseriesofexamplesofdegenerationofcurveswheres?tendstoas(hegenusggrows.Moreover,IobtainalowerboundforSzforagivengenusg,therebyconfirmingthattheindexSzoffibrationsforgenusg=2,3,4isnon-negative.Keywords:algebraicsurfaces;hyperellipticfibrations;singularityindices0引言本文中，除了特别指出的情形外，我们所说的曲面都是指定义在复数域C上的代数曲面.曲面S在B上的一亏格为g的纤维化是指一个纤维连通的满态射.，：ST8.从历史上看，纤维化的研究起源于Kodaira对紧复曲面的系统性研究，这也成为代数几何中很多其他研究方向的开端.为研究椭圆纤维化,Kodaira首先完成了奇异纤维(实际也是纤维芽)的分类与构造⑴，徐时况下,这个分类本质上是由奇异纤维的拓扑单值以及模点完全决定.受Kodaira关于椭圆纤维化研究的启发，人们尝试着将类似的方法推广到高亏格纤维化上.然而此时遇到了种种椭圆纤维化时不曾遇到的困难：(i)随着亏格增大，奇异纤维的种类会变得极多.(ii)奇异纤维的类型不能完全决定奇异纤维的芽勺.(iii)即使奇异纤维的拓扑单值以及模点一致，也不能说明奇异纤维的芽同构叫・为此,Namikawa和Ueno⑵在拓扑地以及财以柯入了g“这-丞卷义上怙计枝M收稿日期:2020-09-17基金项目：江苏省自然科学基金青年项目(BK20I80832)作者简介：郭志明，男，硕士研究生，研究方向为代数几何.E-mail:wilbert.kwok@outlook.com叩.B-M；的量，完成了g=2奇异纤维的分类.但是同时，上面发现的种种复杂现象也暗示着Kodaira意义下的分类对于一般亏格纤维化已经失去了实际意义.此后Horikawa14"61'圳二次益志和典范衅消等技刀完成'亏格2纤维化奇*野维的一的更实际的为矣.爱Horikawa的启发次创［7-8］渔过引入一泵列奇异修时ft>财'将H。浦wm义下的研究方法推广至一般亏格超椭圆纤维化与纤维化其他重要的不变量一样，这些奇异性指数也可以局部化至临界值.由定义，$2以外的奇异性指数都是非负的.一般地，我们无法确切知道&>0是否成立.但至少局部时，Konn。"如第f瑚。)<°的和独化设/：StB是相对极小的亏格g超椭圆纤维化，本文的主要研究对象是奇异性指数为，特别是局部纤维化奇异纤维尸。的奇异性指数$2(&).对于局部纤维化的情况，我们构造了一组随着亏格增长第二个奇异性指数趋近负无穷的例子(见例4),并通过分析对&(&)产生负贡献的分歧轨迹中的分支，给出了指定亏格时&(&)的一个下界，得到了如下结论.设是一个亏格g、相对极小的超椭圆纤维化，％,是/•的一条奇异纤维，则其中E表示不超过x的最大整数.1预备知识本章将简述奇异性指数的定义以及所需的基础知识，更多的细节请参见文献［7-101.如无特殊说明，用rs'T"表示一相对极小的亏格g超椭圆纤维化，弓,表示临界值p(eB)上的奇异纤维.定义1设D是S上的一条既约曲线.定义。的分歧指数为(KS/B+D)D,这里KS/B表示纤维化/'的相对典范除子.此时，分歧指数可以局部化至/ID的临界值.事实上，取咋B.设是。的正规化，3与小分别是。中在/ID。"下关于点〃的水平与垂直分支.令以=f...