第26卷第3期2009年6月计算力学学报ChineseJournalofComputationalMechanicsVol.26,No.3June2009文章编号:100724708(2009)0320312206非线性随机动力系统的概率密度演化分析陈建兵31,刘章军1,2,李杰1(1.同济大学土木工程学院土木工程防灾国家重点实验室,上海200092;2.三峡大学土木水电学院,宜昌443002)摘要:的正交分解或物理系统建模的思想,演化理论求解,反应分析为例,。关键词:;;正交分解17:A1引言守恒原理的随机事件描述和任意维Lagrange描述,获得了广义密度演化方程,从而使得多自由度非线性随机结构的随机反应分析与可靠度分析成为可能[10,11]。事实上,引用对随机激励的正交分解或物理随机过程模型[12,13],具有随机激励的非线性系统,可转化为一类不同于It随机微分方程的随机状态方程,进而,通过求解广义密度演化方程即可获得该非线性系统随机反应的概率密度函数及其演化。本文即利用这一基本思想进行非线性随机动力系统的概率密度演化分析。以某10层剪切型框架结构为例,说明了所发展方法的有效性和可行性。工程结构在地震、强风和巨浪等具有强烈随机性的灾害性荷载作用下往往会不可避免地进入非线性状态。要准确地把握大型复杂结构在这些荷载作用下的反应性态,需要进行非线性系统的随机反应分析。经过近50年的发展,随机振动已经取得了丰硕的成果[1,2],对线性系统的随机振动分析取得了长足的进步[3,4]。然而,在多自由度非线性体系的随机振动分析问题上,经典随机振动理论遇到了巨大的困难[5]。20世纪90年代中期以来发展起来的Hamilton理论体系,对白噪声或滤过白噪声激励的情况,获得了几大类多自由度非线性系统的精确平稳解如。近年来发展的概率密度演化理论[729],从状态空间描述和随机事件描述的不同角度理清了概率守恒原理的物理意义,结合对随机动力系统方程的Euler描述和Lagrange描述,分别导出了经典的概[6]。然而,对更一般激励下多自由2两类随机状态方程不失一般性,多自由度结构体系的动力方程为MX+CX+f(X)=F(t)・・・・・・度非线性系统非平稳反应的分析,则仍然付之阙(1))为式中M和C分别为n×n质量与阻尼矩阵,f(・n维恢复力向量;X,X和X分别为n维加速度、速度和位移向量,F(t)为外部激励向量。若f(X)=KX,这里K为n×n刚度矩阵,则式(1)为线性系统,率密度演化方程,如Liouville方程、FPK方程和Dostupov2Pugachev方程。不仅如此,结合概率收稿日期:2008208228;修改稿收到日期:20082102231基金项目:国家自然科学基金创新研究群体科学基金(50621062)和教育部新世纪优秀人才支持计划联合资助项目1作者简介:陈建兵3(19752),男,博士,副教授(E2mail:chenjb@tongji.edu.cn)李杰(19572),男,特聘教授,博士生导师.否则为非线性系统。若激励F(t)是随机过程或随机过程向量,例如在地震或强风的情况下,方程(1)是一个随机振动问题。为明确本文以地震激励为例,此时F(t)=-MIxg(t),方程(1)变为MX+CX+f(X)=-MIxg(t)・・・・・・・・・・・・(2)式中I为全部元素为1的n维列向量,xg(t)为地震加速度过程;X,X和X分别为相对加速度、相对第3期陈建兵,等:非线性随机动力系统的概率密度演化分析313速度和相对位移。引入状态向量Y=(XT,XT)T,方程(1)可转化为状态方程的形式:Y=A(Y,t)+BF(t)・・式中X0(t)为均值过程,ζj(j=1,2,…,s)为不相ζζ关随机变量,即E[ζkl]=δkl,j和fj(t)分别为满足下式的本征值和本征函数:(3)K∫TX(t1,t2)fj(t1)dt1=λjfj(t2)(8)式中A(Y,t)=-M-1与It随机微分方程只能处理白噪声激励不CX-MX・・-1f(X),B=M-1同,上述分解可以适用于非平稳过程。但在一般情况下,为了较好地逼近原随机过程,式(7)所需的项数往往需要达到数百,的困难。,正交基函数12],Xg(t),有s(4)对上述方程中随机激励的不同处理,导致了不同的分析思路。211It随机微分方程与FPK方程若假定F(t)为白噪声过程,(3)可理解为It[14]:Yt)(Bdt)(5)Xg(ζ,t)=j=1ζ∑jjfj(t)(9)式中N-1式中,dWt=F(t)dt,其中W(t)为Tn维Wiener且E[dW(t)]=0,E[dW(t)dW(t)]fj(t)=k=0<∑j,k+1φk(t)(10)(11)=Ddt,D为正定对称矩阵。φk(t)=,k=0,1,2,…TT在此情况下,记Y(t)的联合概率密度函数为pY(y,t),经过一系列推导可得著名的FPK方程式中φk(t)是Hartley正交基函数,cas...