谈条件概率与积事件概率的区别陈玄令（沈阳建筑工程学院职业技术学院·辽阳·111000）摘要：条件概率与积事件概率在概率论的运算或应用中容易混淆，这两种事件的概率既有本质的区别又存在一定的联系。本文通过剖析它们的实质来重点提示它们之间的区别。关键词：事件、概率、条件概率、积事件概率、区别。对于条件概率和积事件概率，如果不能从本质上把它们的区别搞清楚，那么就会导致在解题或实际应用中常常把应属于积事件概率的问题错误地当成条件概率的问题。有时出现了错误还不易被发现。究其原因，就是没有把条件概率和积事件概率的区别弄清楚。设A1,A2随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件。必须注意：P（A1A2）是A1,A2同时发生的概率，而P（A2/A1）是在A1已经发生的条件下，A2发生的概率。从样本空间的角度来看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变，求P（A1A2）时，我们仍在原来的随机试验所对应的样本空间Ω来进行讨论；而求P（A2/A1）时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件（即A1已发生）。这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了。因此所对应的样本空间就变成了Ω*(Ω*Ω).因此。积事件“A1A2”与事件“A2/A1”是两种截然不同的事件，但它们也不是一点联系都没有，乘法公式；P（A1A2）=P（A1）P（A2/A1）（P（A1）>0）就给出了这两种事件概率之间的联系。例：从一批次品率为30%的10件产品中，每次不放回地任意抽取一件来测试，连续抽取三次，求第三次才取得正品的概率。解：设Ai={第i次取得正品}（i=1、2、3）。“第三次取得正品”相当于“第一、二次取得次品，而第三次取得正品”。这个事件容易与“在已知前两次取得次品的条件下，第三次取得正品”相混淆。所以，容易出现下列错误解法：P（第三次才取得正品的概率）=P（A3/A(━)1A(━)2）=7/8分析造成错误的原因，主要是对条件概率与积事件概率的区别和问题中事件间的关系没弄清楚。例题中的条件是每次试验从10件产品中不放回地连续抽取三件产品，这样，样本空间Ω中基本事件总数为P310个，就抽得正---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---品和次品而言有如下八类情况（当然不是等可能的，而每一类又有多种可能结果）；（次、次、次）、（次、次、正）、（次、正、次）、（正、次、次）、（次、正、正）、（正、次、正）、（正、正、次）、（正、正、正）。试验中第三次才取得正品是上面所有这八类可能情况中的第二类可能情况。也就是说前两次抽得次品并不是试验前事先已经发生，而是与第三次取得正品同时发生的。因此，它不是条件概率问题，而是乘法公式问题。而“在前两次取得次品的条件下，第三次取得正品”的概率求的是第三次取得正品（附加了前两次取得次品这个条件）的概率，这里每次试验前已经知道前两次抽得的次品这个条件。在这种情况下，样本空间由Ω缩为B={（次、次、次）、（次、次、正1）、（次、次、正2）、（次、次、正3）、（次、次、正4）、（次、次、正5）、（次、次、正6）、（次、次、正7）}。因此，这里所求的概率实际上是除去前两次己取得次品以后，在剩下的产品中，一次抽取取得正品的概率，也就是说，这里所求的概率是附加了条件的事件发生的概率。因此，由条件概率的定义，求“在前两次取得次品的条件下，第三次取得正品”的概率才是条件概率问题。由此看来，“第三次才取得正品”与“在前两次取得次品的条件下，第三次取得正品”的概率是有本质区别的两个不同问题。前者是属于乘法公式问题，后者是条件概率问题。所以，例题的正确解法为：解：设Ai={第次取得合格品}（i=1，2，3，）则P（A(━)1A(━)2A3）=p(A(━)1)P(A(━)2/A(━)1)(A3/A(━)1A(━)2)=3/10×2/9×7/8=7/120第三次才取得正品的概率为7/120.一般地,n件产品中,有m件次品,每次抽取一件,取后不放回,连续抽取i次,则第i次才取得正品的概率为:P(A(━)1A(━)2…A(━)i-1Ai)=P(A(━)1)P(A(━)2/A(━)1)…P(Ai/A(━)1A(━)2…A(━)i-1)=(m/n)[(m-1)/(n-1)]…[(m-i+2)/(n-i+2)]·[(n-m)/(n-i+1)]而在前i-1次取得次品的条件下,第i次取得正品的概率为:P(A...