数学实验与数学建模实验报告学院：理学院班级：数学师范132学号：1302012055姓名：张倩实验名称：非线性迭代指导教师：刘晓惠填写日期：2014年12月一、实验背景与实验目的迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。二、实验计划1.迭代序列与不动点（1）实验程序给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值x0，定义数列xn1f(xn)，n0,1,2,（2.2.1）{xn}称为f(x)的一个迭代序列。函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数f(x)的不动点。对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：Clear[f]f[x_]:=(25*x-85)/(x+3);（实验时需改变函数）Solve[f[x]==x,x]（求出函数的不动点）g1=Plot[f[x],{x,-10,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=Plot[x,{x,-10,10},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],DisplayFunction->Identity];x0=5.5;r={};r0=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Line[{{x0,0},{x0,x0}}]}];For[i=1,i<=100,i++,r=Append[r,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Line[{{x0,x0},{x0,f[x0]},{f[x0],f[x0]}}]}]];x0=f[x0]];Show[g1,g2,r,r0,PlotRange->{-1,20},（PlotRange控制图形上下范围）DisplayFunction->$DisplayFunction]x[0]=x0;x[i_]:=f[x[i-1]];（定义序列）t=Table[x[i],{i,1,10}]//NListPlot[t]（散点图）观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？如果只需迭代n次产生相应的序列，用下列Mathematica程序：Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=Module[{t={},temp=x0},AppendTo[t,temp];For[i=1,i<=n,i++,temp=f[temp];AppendTo[t,temp]];t]f[x_]:=(x+2/x)/2;Iterate[f,0.7,10]（2）实验思路2首先函数y25x85研究不点，需要x3（1）Plot中{x,-10,20}可改{x,-50,50}；PlotRange中{-1,20}可改{-50,50}；（2）x0=5.5中5.5分改-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5，4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；（3）t=Table[x[i],{i,1,10}]//N中10分改100，200，500，1000；（4）i<=100中100分改200，500，1000。运行程序后察蛛网与散点！一看数列是否收？如收，极限是多少？收速度是快是慢？二看蛛网中的道是否于平衡点？与平衡点曲的斜率有没有关系？三看初果有没有影响？其次，分就f(x)sinx，f(x)x1等函数利用（2.2.1）做迭代序列{xn}，察蛛网中的道是否于平衡点和序列的收性。2.Logistic映射与混沌（1）程序从形如fxax1x的二次函数开始做迭代xk1fxkk0,1,（2.2.2）里，a0,4是一个参数。不同的a系地察迭代（2.2.2）的行。Mathematica程序：IterGeo[a_,x0_]:=Module[{p1,p2,i,pointlist={},v=x0,fv=a*x0*(1-x0)},p1=Plot[{a*x*(1-x),x},{x,0,1},DisplayFunction->Identity];AppendTo[pointlist,{x0,0}];For[i=1,i<20,i++,AppendTo[pointlist,{v,fv}];AppendTo[pointlist,{fv,fv}];v=fv;fv=4*v*(1-v)];p2=ListPlot[pointlist,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];Show[{p1,p2},DisplayFunction->$DisplayFunction]]IterGeo[2.6,0.3]将区（0，4］以某个步a离散化，每个离散的a做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代，而把点a,x51，a,x52，⋯，a,x100示在坐平面上，最后形成的形称Feigenbaum。Mathematica程序：Clear[f,a,x];f[a_,x_]:=a*x*(1-x);x0=0.5;r={};Do[For[i=1,i<=300,i++,x0=f[a,x0];If[i>100,r=Append[r,{a,x0}]]],{a,3.0,4.0,0.01}];ListPlot[r]从极限分支点之后，Feigenbaum得很乱，似乎没有任何律。上，任何初始做迭代都会得到同的果。就是所...