§2极坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化课后篇巩固探究A组1.极坐标为(❑√2π,7π4)的点的直角坐标为()A.(π,π)B.(π,-π)C.(-π,π)D.(-π,-π)解析:设点的直角坐标为(x,y),则有x=❑√2π·cos7π4=π,y=❑√2π·sin7π4=-π,故直角坐标为(π,-π).答案:B2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)答案:A3.已知极坐标平面内的点P(2,-5π3),则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.(2,π3),(1,❑√3)B.(2,-π3),(1,-❑√3)C.(2,2π3),(-1,❑√3)D.(2,-2π3),(-1,-❑√3)解析:易知点P(2,-5π3)关于极点的对称点的极坐标为(2,-2π3),由x=ρcosθ=2×cos(-2π3)=-1,y=ρsinθ=2×sin(-2π3)=-❑√3,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-❑√3).答案:D4.已知点M的直角坐标是(2,-2❑√3),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是()A.(4,-π3)B.(-4,2π3)C.(4,-5π3)D.(4,5π3)解析:ρ=❑√22+(-2❑√3)2=4,tanθ=-2❑√32=-❑√3.又点M在第四象限,故点M的极坐标为(4,-π3+2kπ)或(-4,2π3+2kπ,k∈Z).答案:C5.若点M的极坐标为(6,11π6),则点M关于y轴对称点的直角坐标为.解析: 点M的极坐标为(6,11π6),∴x=6cos11π6=6cosπ6=6×❑√32=3❑√3,y=6sin11π6=6sin(-π6)=-3,∴点M的直角坐标为(3❑√3,-3),∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3❑√3,-3).答案:(-3❑√3,-3)6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为.解析: 点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ=❑√x2+y2=2❑√2.又tanθ=yx=1,且θ∈[0,2π),∴θ=54π.∴点P的极坐标为(2❑√2,54π).答案:(2❑√2,54π)7.将下列极坐标化成直角坐标.(1)(❑√2,π4);(2)(6,-π3);(3)(5,π).解(1)因为x=❑√2·cosπ4=1,y=❑√2·sinπ4=1,所以点(❑√2,π4)的直角坐标为(1,1).(2)因为x=6·cos(-π3)=3,y=6·sin(-π3)=-3❑√3.所以点(6,-π3)的直角坐标为(3,-3❑√3).(3)因为x=5·cosπ=-5,y=5·sinπ=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).(1)(-1,1);(2)(4,-4❑√3);(3)(32π,32π);(4)(-❑√6,-❑√2).解(1)ρ=❑√(-1)2+12=❑√2,tanθ=-1,θ∈[0,2π),因为点(-1,1)在第二象限,所以θ=3π4,所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为(❑√2,3π4).(2)ρ=❑√42+(-4❑√3)2=8,tanθ=-4❑√34=-❑√3,θ∈[0,2π),因为点(4,-4❑√3)在第四象限,所以θ=5π3.所以直角坐标(4,-4❑√3)化为极坐标为(8,5π3).(3)ρ=❑√(3π2)2+(3π2)2=3❑√2π2,tanθ=3π23π2=1,θ∈[0,2π),因为点(3π2,3π2)在第一象限,所以θ=π4.所以直角坐标(3π2,3π2)化为极坐标为(3❑√2π2,π4).(4)ρ=❑√(-❑√6)2+(-❑√2)2=2❑√2,tanθ=-❑√2-❑√6=❑√33,θ∈[0,2π),因为点(-❑√6,-❑√2)在第三象限,所以θ=7π6.所以直角坐标(-❑√6,-❑√2)化为极坐标为(2❑√2,7π6).9.在极坐标系中,如果A(2,π4),B(2,5π4)为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积.解法一利用坐标转化.对于点A(2,π4),直角坐标为(❑√2,❑√2),点B(2,5π4)的直角坐标为(-❑√2,-❑√2).设点C的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,故⃗AC·⃗BC=0,即(x-❑√2,y-❑√2)·(x+❑√2,y+❑√2)=0,(x-❑√2)(x+❑√2)+(y-❑√2)(y+❑√2)=0.得x2+y2=4.①又 |AC|2=|BC|2,于是(x-❑√2)2+(y-❑√2)2=(x+❑√2)2+(y+❑√2)2,即y=-x,代入①得x2=2,解得x=±❑√2,∴{x=❑√2,y=-❑√2或{x=-❑√2,y=❑√2,∴点C的直角坐标为(❑√2,-❑√2)或(-❑√2,❑√2).∴ρ=❑√2+2=2,tanθ=-1,θ=7π4或3π4,∴点C的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4).S△ABC=12|AC||BC|=12|AC|2=12×8=4.法二设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π), |AB|=2|OA|=4,∠C=π2,|AC|=|BC|,∴|AC|=|BC|=2❑√2,即{ρ2+22-2×2ρcos(θ-π4)=8,①ρ2+22-2×2ρcos(θ-5π4)=8,②①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-π4)=0,∴θ-π4=π2+kπ,k...