考点规范练22三角恒等变换考点规范练B册第14页一、基础巩固1.2sin47°-❑√3sin17°cos17°=()A.-❑√3B.-1C.❑√3D.1答案D解析原式=2×sin47°-sin17°cos30°cos17°=2×sin(17°+30°)-sin17°cos30°cos17°=2sin30°=1.故选D.2.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=()A.43B.-43C.43或0D.-43或0答案C解析因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,故选C.3.已知函数f(x)=3sinωxcosωx+❑√3cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π2,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=π8,则φ的值不可能为()A.5π24B.13π24C.17π24D.23π24答案B解析 f(x)=3sinωxcosωx+❑√3cos2ωx=32sin2ωx+❑√3·1+cos2ωx2=❑√3sin(2ωx+π6)+❑√32,∴2π2ω=π2,即ω=2,∴f(x)=❑√3sin(4x+π6)+❑√32.平移后的函数为g(x)=❑√3sin[4(x+φ)+π6]+❑√32=❑√3sin(4x+4φ+π6)+❑√32.由题意,得4·π8+4φ+π6=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ4−π24,k∈Z,故选B.4.已知f(x)=sin2x+sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,[-π4,3π4]C.π,[-π8,3π8]D.2π,[-π4,π4]答案C解析由f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12+❑√22(❑√22sin2x-❑√22cos2x)=12+❑√22sin(2x-π4),则T=2π2=π.又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.5.已知5sin2α=6cosα,α∈(0,π2),则tanα2=()A.-23B.13C.35D.23答案B解析由题意,知10sinαcosα=6cosα,又α∈(0,π2),∴sinα=35,cosα=45,∴tanα2=sinα2cosα2=2sin2α22sinα2cosα2=1-cosαsinα=1-4535=13.6.已知tan(α+π4)=-12,且π2<α<π,则sin2α-2cos2αsin(α-π4)等于()A.2❑√55B.-3❑√510C.-2❑√55D.-3❑√1010答案C解析sin2α-2cos2αsin(α-π4)=2sinαcosα-2cos2α❑√22(sinα-cosα)=2❑√2cosα,由tan(α+π4)=-12,得tanα+11-tanα=-12,解得tanα=-3.因为π2<α<π,所以cosα=-❑√1010.所以原式=2❑√2cosα=2❑√2×(-❑√1010)=-2❑√55.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1(ω>0,0<φ≤π2)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=π6时取得最大值2,若f(α)=95,且π6<α<2π3,则sin(2α+2π3)的值为()A.1225B.-1225C.2425D.-2425答案D解析由题意知,T=2π,即T=2πω=2π,即ω=1.又当x=π6时,f(x)取得最大值,即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π3+2kπ,k∈Z. 0<φ≤π2,∴φ=π3,∴f(x)=sin(x+π3)+1. f(α)=sin(α+π3)+1=95,可得sin(α+π3)=45. π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π,∴cos(α+π3)=-35.∴sin(2α+2π3)=2sin(α+π3)·cos(α+π3)=2×45×(-35)=-2425.故选D.8.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案❑√21解析因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=❑√2sin(2x+π4)+1,所以A=❑√2,b=1.9.(2018江苏,16)已知α,β均为锐角,且tanα=43,cos(α+β)=-❑√55.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解(1)因为tanα=43,tanα=sinαcosα,所以sinα=43cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925,因此cos2α=2cos2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-❑√55,所以sin(α+β)=❑√1-cos2(α+β)=2❑√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247.因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.10.已知函数f(x)=sin(ωx-π6)+cos(ωx-π3)-2sin2ωx2(ω>0)的周期为π.(1)求ω的值;(2)若x∈[0,π2],求f(x)的最大值与最小值.解(1) 函数f(x)=sin(ωx-π6)+cos(ωx-π3)-2sin2ωx2=sinωxcosπ6-cosωxsinπ6+cosωxcosπ3+sinωxsinπ3-2·1-cosωx2=❑√3sinωx+cosωx-1=2sin(ωx+π6)-1(ω>0),∴f(x)的周期为2πω=π,∴ω=2.(2) x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴sin(2x+π6)∈[-12,1].∴f(x)的最大值为1,最小值为-2.11.已知点(π4,1)在函数f(x)=2asinx...