1UniversitatisPekinensis,Vol.38,No.5(Sep,2002)条件独立性的三种形式及其相互关系李开灿2)耿直(北京大学数学学院,北京,100871)摘要给出了随机变量的随机条件独立性、回归条件独立性及其强随机条件独立性的概念,并且证明了这几种条件独立性的相互关系。主要结论是在一定条件下,强随机条件独立必有回归条件独立;随机条件独立性与回归条件独立性是等价的。它们对概率论及其数理统计的应用是有意义的。关键词条件独立;σ2域;条件期望;质集O212140引言独立性及其条件独立性是概率论中的两个基本概念,其定义是确定的。然而当涉及随机变量的条件独立性时,问题变得复杂起来,人们因此引进了概率空间上σ2域的独立及其条件独立性的概念,它们为现代概率论一些分支如随机过程及其鞅的发展奠定了理论基础1。数理统计的许多方法与独立性及其条件独立性是密不可分的。为了描述充分统计量,Dawid在文献2,3中讨论了条件独立性。这两篇文章是极其重要的,因为它被近期数理统计中图模型理论4,5、因果分析6和Bayes网络7等现代统计方法所广泛引用。设X,Y,Z是随机变量,注意到Dawid在2,3]中对给定Z的条件下,X独立于Y的定义是不同的,他都使用了XY|Z的记号。Dawid在[2]给出的XY|Z是基于X、Y、Z的密度函数定义的,它被Wermuth8]、Geng[9]、郭建华[10]和作者[11]等许多文献广泛采用。它实际上是一种“点点”条件独立性。而[3]中的XY|Z是关于X,Y,Z的σ域σ(X)、σ(Y)、σ(Z)(这里σ(X)=X-1(B),B是实数空间R上的Borel域),在给定的统计运算下的条件独立性。比如统计运算取为条件期望,就是常见的随机变量的条件独立性,它具有回归的形式。另外,XY|Z在概率论中还有一种基于事件条件独立性的自然理解形式,即ΠA、B、C∈B,只要P(Z∈C)>0,有P(X∈A,Y∈B|Z∈C)=P(X∈A|Z∈C)P(Y∈B|Z∈C)。此刻关心的就是这3种不同定义形式的条件独立性的相互关系问题。如果它们不是完全等价的,用同一种表达方式是不合理的。本文将讨论这3种意义下的条件独立性的区别与联系,主1)国家自然科学基金资助项目(19825103)2)现在工作单位:湖北师范学院,湖北省黄石市,435002A∫∫要结论是在适当的条件下:强随机条件独立性是随机条件独立的,回归条件独立不等价于强随机条件独立性。1基本概念与定义设(Ω,;,P)是一个概率空间,(X,Y,Z)是它上的随机向量,如若它们有密度函数,记为p(x,y,z)。若A∈;,P(A)>0,并且ΠCΑA,当C≠/○或者A时,有Cz;,则称A是;的质集。若;1,;2,;3是;的子σ域,用σ(;1∨;2)、σ(;1∧;2)分别表示由;1与;2的各元素之并,交产生的集生成的最小σ域,由集合论的知识可知;1∧;2是Π族并且:σ(;1∨;2)=σ(;1∧;2)。为了方便起见,记σ(;2∨;3)为(;2,;3)。设是(Ω,;,P)上的可测函数,E(|f|)<+∞,记E(f|;1)是f(x)在;1上的条件期望,即E(f|;1)满足如下条件:1)E(f|;1)是;1上的可测函数;2)对于任何的A∈;1,E(f|;1)dP=Af(x)dP。A特别地,若A∈;,用χA表示A的示性函数,称E(χA|;1)是A在;1上的条件概率,简记为1P(A|;1)。若A∈;,P(A)>0,P(A)∫fdP被称为f在A上的条件期望,记为E(f|A)。定义1设(Ω,;,P)是一个概率空间,;1,;2,;3是;的子2σ域,若ΠA∈;1,都有等式P(A|(;2,;3))=P(A|;2)a.s.则称在给定;2的条件下,;1关于P条件独立于;3,记为;1;3|;2[P]。引理1;1;3|;2[P]的充分必要条件(记为Ζ)是:ΠA1∈;1,ΠA3∈;3P(A1∩A3|;2)=P(A1|;2)P(A3|;2)a.s.证明见[1]。定义2设概率空间(Ω,;,P)上的随机向量(X,Y,Z)有密度函数p(x,y,z),若对任意的x,y,z,只要p(z)>0都有:p(x,y,z)=p(x,z)p(y,z),则称在给定Z的条件,X与Y关p(z)于P随机条件独立,记为X⊥Y|Z[P];若σ(X)σ(Y)|σ(Z),则称在给定Z的条件,X与Y关于P回归条件独立,记为X├Y|Z[P]。若ΠA、B、C∈B,只要P(Z∈C)>0有P(X∈A,Y∈B|Z∈C)=P(X∈A|Z∈C)P(Y∈B|Z∈C),则称在给定Z的条件,X与Y关于P强随机条件独立。记为XY|Z[P]。从定义2可以看出这3种条件独立性是很常见的形式,特别是X├Y|Z[P]是概率论中最常见的定义形式。现在感兴趣的问题是它们3者是否是等价关系,郭建华在10]中仅仅就离散型随机变量的情况部分地讨论了随机条件独立与回归条件独立的关系,本文的主要目的是就更一般的情况讨论3种条件独立的关系。先给出下面的...