揭示函数的本质及其研究方法——记一堂高三函数复习课常州市北郊高级中学马剑飞213000摘要：数学学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的过程，高三的学生经历了由薄到厚的过程，所以高三更加要关注学生由厚到薄的过程，让学生真正明白数学知识的本质及方法，从而提高数学能力与素养．函数是一个重要的知识点，通过这一章让学生经历这个过程，理解函数的本质，明白数学的学习方法．关键词：函数，本质，方法，数形结合数学课程标准指出“高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备．”高三的数学复习是为了让学生在这两方面能够得到更进一步的提升，但是，往往我们给学生的是无数的题，无数的方法，学生学到最后变成了用记忆的方法来学习数学，这样既不利于学生的水平的提高，也影响学生对数学的兴趣及后续的数学学习，所以高三的复习课更应让学生感受数学的本质，体会数学的研究方法，真正感受数学是思维的体操，感受数学的美．函数一章是学生进入高中学的第一个难点知识，也是高考重要的一个知识考点，是贯穿整个数学学习过程的一块知识．对于本章内容，学生做了很多的题，但是总是一遇到问题就没有方法，遇难而退，其主要原因在于不能掌握函数的本质．笔者在一节课中用几道函数题让学生经历探究的过程，感受数学的研究方法，培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，促进数学素养的提高，揭示数学的本质，感受数学思维的快乐！一、揭示函数的本质函数的最大难点是变化，所以函数的本质是研究两个变量之间的相互关系，解决的方法就是找到两个变量之间的变化关系，从而转化为函数关系，这就是函数思想。体会这个本质后，就形成了函数思想，就能够用函数的方法研究问题．为了让学生体会函数的本质，本节课给出了2011年江苏高考卷12题及一个练习，让学生真正感受函数的本质，形成函数的思想．例1、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．生1：本题求的最值，必须找到与另一个变量的关系，从而求出最值．解题过程为：设则，过点P作的垂线，，，所以，t在上单调增，在单调减，．通过生1的分析与解答过程，明确了求最值就是找函数关系式，转化为函数的最值问题，通过本题学生感受到了函数的本质，但是由于本题比较明显，学生还没有真正从思想上领会，故给出一个练习，通过练习让学生再摸索、感悟．练习1、设函数，．若存在，使得成立，则的最小值是．生2：令，但是两个量都在变，不能建立函数关系．生3：只要转化为一个变量就行了，所以要找两变量之间的关系，消元后就可以建立函数关系．解题过程为：令，由题知：，，，，令，则，由知，在上单调递增，，即在上单调递增，则．生2已能够运用函数的思想去理解，但是面对三个变量不知怎么处理，所以还没有能够真正掌握．生3运用化归的数学思想方法，消元解决了该问题，建立了函数关系，理解函数的本质．二、体会研究函数的方法：数形结合两个量的变化关系反映在函数图像上就更加形象，这就是数形结合思想．单调性、奇偶性都是从图像上研究，从而得出代数关系，所以让函数清晰起来的方法就是用函数图像．在用函数图像研究函数的过程就是对数形结合思想的体会，提高了数学素养，为后续的数学学习打下扎实的思维基础．本节课给出了2011年的江苏高考卷19题，本题用代数方法与数形结合方法都可以解，但是代数方法要求明显高，而用数形结合的方法却是很容易研究，在比较中感受数形结合思想的美．例2、已知a，b是实数，函数和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。(1)解略；(2)给出的参考答案技巧多，分类多，学生看完答案后，普遍不理解，即使理解也感觉没有任何的收获．在这个时候，笔者提出...