第1节数列的概念与简单表示法【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项公式1递推公式的应用3,7,9,14an与Sn的关系2,5数列的单调性、最值4,8,12综合问题6,10,11,13,15基础对点练(建议用时:25分钟)1.(2018·南通模拟)如图,关于星星的图案中星星的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是(C)(A)an=n2-n+1(B)an=(C)an=(D)an=解析:观察所给图案知,an=1+2+3+…+n=.故选C.2.(2018·济宁模拟)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于(D)(A)(B)(C)(D)30解析:因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5×(5+1)=30.故选D.3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+lg(1+),则an的值为(A)(A)2+lgn(B)2+(n-1)lgn(C)2+nlgn(D)1+nlgn解析:因为an+1-an=lg,所以an=(an-)+(-)+…+(a2-a1)+a1=lg+lg+…+lg+2=lg(··…·×)+2=lgn+2.故选A.4.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(D)(A)(B)(C)4(D)0解析:因为an=-3(n-)2+,由二次函数性质得,当n=2或3时,an最大,此时an=0.故选D.5.(2018·辽宁省实验中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则an等于(C)(A)2n(B)2n-1(C)2n(D)2n-1解析:当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以数列{an}为等比数列,公比为2,首项为2,所以通项公式为an=2n.故选C.6.(2018·阜阳模拟)已知函数f(n)=n2+kn+2(n∈N*),若f(n)≥f(4)恒成立,则实数k的取值范围是(C)(A)[-9,-6](B)(-9,-6)(C)[-9,-7](D)(-9,-7)解析:f(4)=18+4k,f(n)≥f(4),即(4-n)k≤n2-16,n=1,2,3时,k≤(-n-4)min=-7,当n≥5时,k≥(-n-4)max=-9.故选C.7.(2018·上海交大附中模拟)数列{an}满足an=an-1-an-2(n≥3),a1=5,其前n项和记为Sn,若S8=9,那么S100等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)5解析:由题{an}为5,a2,a2-5,-5,-a2,-a2+5,5,a2,…即{an}为以6为周期的数列,S8=a2+5=9,a2=4,a3=-1,a4=-5.所以S100=S16×6+a1+a2+a3+a4=3.8.(2018·河北省保定市模拟)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是.解析:因为{an}是递增数列,所以解得即2<a<3.答案:(2,3)9.(2018·开封模拟)设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则a2017=.解析:由于a1=1,a2=4,a3=9,则a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17,a6=a5+a4-a3=20,a7=a6+a5-a4=25,…,归纳可知an=an-2+8,即数列{an}的奇数项、偶数项均是公差为8的等差数列,则a2017=a1+1008d=1+1008×8=8065.答案:806510.(2018·梧州模拟)已知各项都为正数的数列{an}满足-an+1an-2=0,且a1=2,则an=.解析:因为-an+1an-2=0,所以(an+1+an)(an+1-2an)=0.因为数列{an}的各项均为正数,所以an+1+an>0,所以an+1-2an=0,即an+1=2an(n∈N+),所以数列{an}是以2为公比的等比数列.因为a1=2,所以an=2n.答案:2n能力提升练(建议用时:25分钟)11.(2018·南宁模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2015a2017-)等于(B)(A)1(B)-1(C)2017(D)-2017解析:因为a1a3-=1×2-12=1,a2a4-=1×3-22=-1,a3a5-=2×5-32=1,…,a2015a2017-=1.所以(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2015a2017-)=11008×(-1)1007=-1.故选B.12.(2018·西安模拟)已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足f(an+1)f()=1(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是(D)(A)f(a2013)>f(a2016)(B)f(a2014)>f(a2017)(C)f(a2016)<f(a2015)(D)f(a2013)>f(a2015)解析:因为f(x)f(y)=f(x+y),所以f(0)f(0)=f(0),即f(0)=1或f(0)=0,当f(0)=0时f(x)=0与x<0时,f(x)>1矛盾,因此f(0)=1,由f(x)f(y)=f(x+y)可得f(x)f(-x)=f(0)=1,当x>0时,0<f(x)<1,设x1>x2,则f(x2-x1)>1,f(x1)f(x2-x1)=f(x2),所以f(x2)>f(x1),因此y=f(x)为单调减函数,从而f(an+1)f()=1=f(0),所以an+1+=0.所以an+2=-,an+3=an,所以f(a2013)=f(a2016),f(a2014)=f(a2017),f(a2016)=f(a3)=f(-2)>f(-)=f(a2)=f(a2015),f(a2013)=f(a3)=f(-2)>f(-)=f(a2)=f(a2015).故选D.1...