专题033：平面向量的数量积（复习设计）（师）考点要求：1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平4．面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．知识结构：1．两个向量的夹角→→a＝0°时，)180°叫做向量a与b的夹角，当θ＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤OA已知两个非零向量a和b(如图)，作.a⊥b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b≤180?。在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?注意C2．两个向量的数量积的定义|cos||ba·b＝|aa与b的数量积(或内积)，记作a·b，即|已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量a||b|cosθ叫做0.a＝θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·．向量数量积的几何意义3θ的数量积．在a的方向上的投影|b|cosa·b等于a的长度|a|与b数量积．向量数量积的性质4的夹角．则b(或e)a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与设；·b＝0(2)a⊥b?aa·e＝|a|cosθ；(1)e·a＝2；a·|或者|a|a＝·ab＝－|a||b|，特别的，a·a＝|aba(3)当a与b同向时，·b＝|a|·||；当a与b反向时，b·a|.a||ba·b|≤|(5)|θ(4)cos＝；|||b|a5．向量数量积的运算律.cc＋b·b(3)(a＋)·c＝a·)baλ·b＝λ(a·)＝a·(λb；··(1)ab＝ba；(2)平面向量数量积的坐标运算6．的夹角为θ，则y)，向量a与b，)设向量a＝(x，y，b＝(x2112xx＋yy221122；(4)a⊥b?a·b＝0?xx＋y，〈；yxa；(2)|y＋xxba(1)·＝y|＝＋(3)cosab〉＝y＝0.21111222112222y＋x＋xy2211-1-→22平面内两点间的距离公式)y－y?a|．＝?x－x?(＋?，7．若A(x，y)B(x，y)，AB＝a，则|212122118．特别注意：，a≠0)＝a·c(但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b；(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac?b＝c(a≠0)c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．则不一定有b＝aabccabccabcab共线的，这是由于((·)(2)数量积运算不适合结合律，即(·))·≠表示一个与(表示一个与·共线的向量，)cabcaabc与(不一定共线，因此()··)不一定相等．与向量，而→→BCABCAB.60°(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形的夹角应为中，120°，而不是与基础自测：a·b＝－3，则a与b的夹角为()．，若1．已知|a|＝3，|b|＝23ππ2ππD.A.B.C.43343－2π1·baCθ＝.答案.cos与b的夹角为θ，则θ＝又0≤θ≤π，∴＝＝－解析设a32b||a||23×．()，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是2．若a，bDc)答案＝a·(b·＋mbD．(a·b)·c(＋B．(ab)·c＝a·c＋b·cC．ma＋b)＝ma＋)A．(a＋b＋c＝a＋(bc))．2b)＝(∥b，且a⊥c，则c·(a＋3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a0D．2B．3C．A．4D答案c·b＝0.2b)＝c·a＋2a由解析a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(＋)．等于(⊥(a－b)，则实数xa4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且4．－DC．0A．9B．4A＝9.答案＋8＝0.∴xx－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－＝解析a－b(1的夹角为________．2，则a与bb(a＋2)·(a－b)＝－|)5．(2011·江西已知|a|＝|b＝2，2，－b)＝－＋＝2，(a2b)(a|解析由|a|＝b|ππ12·bab〉＝.答案〉∈＝＝，又〈a，b[0，π]所以〈a，〉＝〈＝得a·b2，cosa，b32||b|3a|22×例题选讲：1．求两平面向量的数量积上的高，则的值等于（），中，例1：如下图，在，是边ACAD?BCAD?303ABC????△ABCABBC99．DC．．．A0B4?44，借助数量积的定义求出．，【思路点拨】充分利用已知条件的?ABC??ABBC3??30-2-92?ADACcos?CAD?AD?AC?AD?3因为，是边上的高,，【答案】B【解析】.?AD3?AB?ABC?30?AC?BCAD42→→)D·AC等于(学生练习：在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB3232D.C.A.－B.－23232．利用平面向量数量积求夹角与模61.)＝(2a＋b|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·【例2】?已知|a；与b的夹角θ(1)求a|.b和|a－(2)求|a＋b|的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．由平面向量数量积的运算法则得a·b分析：6.a·b＝－(1)(2a－3b)·(2a...