关于多因素模糊指派问题的数学模型〔摘要〕本文从经典指派的一般分析出发，运用模糊数学的方法，通过建立单因素“印象矩阵”，对程度模糊集加权、计算单因素评判矩阵、建立多因素评判矩阵一系列过程及最小调整法，对多因素指派问题进行综合分析和研究，提出了一种关于多因素模糊指派问题的新的数学模型，解决了经典指派问题在实际问题中的某些不足，进而得到一种在实际问题中普遍适用的方法。??〔关键词〕指派；最小调整法；模糊集；评判矩阵??：F224．3文献标识码：A：1008-4096(2008)06-0026-03?お?一、引言??运筹学所研究的指派问题，通常是传统的指派问题。但一般情况下，在工作未完成之前，其效率矩阵中的元素应该是不确定的。为了得到具有指导性的决策,有必要对效率矩阵中的元素进行统计或粗略估计，由此产生了更加贴近于现实生活的模糊指派问题。有关模糊指派问题，已有诸多论述，但方法不一。本文通过对多因素指派问题进行综合分析和研究，提出了一种关于多因素模糊指派问题的新的数学模型。??运筹学中的指派问题的一般提法是：设有n个人（或机器等）A??1,A??2,…，A??n,分派去做n项工作B??1,B??1,…，B??n，要求每项工作需且仅需一个人去做，每个人需做且仅做一项工作。已知A??1完成B??j工作的时间（如工时、成本、费用等）为C????ij??，问如何指派，才能使总的工作时间最少？??由C????ij??组成的方阵C=(C????ij??)????n×n??称为关系矩阵，只要关系矩阵C给定，指派问题也就相应确定。??在运筹学中的求解指派问题一般用匈牙利算法[1]，由于它由匈牙利数学家柯尼格提出，因此而得名。此外还有最小调整法[2]，该方法更加便捷。??例如：（最优匹配问题）现有A、B、C、D四项工作，需要甲、乙、丙、丁四人去做，并且每人只能做一项工作，同时每一项工作必须且只需一人去做，四人做每项工作所支付的费用如下：??利用最小调整法，取各列的一个最小值，并加括号，然后按使目标函数增值最小的原则进行调整，使每行有且仅有一个加括号的元素为止，便得到最优指派[3]：甲完成C，乙完成Ｂ，丙完成Ｄ，丁完成A。所支付的总费用f=4+4+9+11=28（k元）最低。??这种经典指派问题所考虑的因素单一，就是支付的费用，并且支付的费用是明确的数据，表示的意义也相同。然而在实际问题中，常面临已下情形：??１．经典指派中的每个人对工作的数据必须明确给出，但在实际问题中，如果考核的对象过多，则数据就很难获得。??２．在实际考核中的数据未必都是明确的，如在上例中如果考核甲、乙、丙、丁四人的工作效果，由专家、单位领导和同事评价可以给出效果很好、好、一般、不好等考核数据，即需要采用一些模糊语言作为不同程度的评语，对于这些模糊的数据是无法用经典的指派来解决的。??３．经典指派中通常考虑同一种因素，这在有些实际问题中是远远不够的。例如某大型公司欲对其员工进行素质培训，需要甲、乙、丙、丁四人分别讲授A、B、C、D四门课程，这时就不能只考虑费用最低，同时还要达到最好的教学效果。而考核教学效果就需要对教师所讲授内容的熟练程度、涉猎的深广度、逻辑性、生动性、启发性等因素进行综合考虑。因此，在考虑的因素性质不同的时候，或考虑的因素较多的时候，经典指派就不太适用。??为此，下面本文利用模糊数学的方法解决以上存在的问题。??二、数学方法??前面例子是四个人完成四项工作，现假设有n个人{p??1,p??2,…，p??n}及n项工作{w??1,w??2,…,w??n}，要使总支付费用最低，则要考虑n个人去做n项工作的支付费用构成的n阶关系矩阵??利用最小调整法可得到一个最优指派。??在有些问题中，所要解决的问题是要考虑的因素很多，并且考核数据是在不明确的条件下进行的，因此，如何完成n个人完成n项工作的指派问题，就需要利用模糊综合评价的思想去考虑，由此得到评判矩阵B，然后再利用最小调整法解B，求出最优解。为此，提出如下方法：??1．建立单因素“印象矩阵”??设P={p??1,p??2，…,p??n}为被指派的n个人组成的集合，W={w??1,w??2,…，w??n}为所指派的n项工作组合的集合，U={u??1,u??2,…，u??n}为所考虑事物相关的因素（如考核教师教学效果时的熟练程度、涉猎的深广度、...