4.4数学归纳法重点练一、单选题1．用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为（）A．(5k-2k)+4×5k-2kB．5(5k-2k)+3×2kC．(5-2)(5k-2k)D．2(5k-2k)-3×5k2．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为（）A．a=,b=c=B．a=b=c=C．a=0,b=c=D．不存在这样的a,b,c3．用数学归纳法证明不等式*111111,223422nnnnN…(n∈N¿,n≥2)时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．从“到”左边需要增加的代数式是12k−1+1+12k−1+2++12k4．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题5．用数学归纳法证明“当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为,从k到k+1时需增添的项是.6．已知函数，对于，定义，则的解析式为________.三、解答题7．1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并说明你的结论.参考答案1．【答案】B【解析】假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,就可以应用假设.故选B.故选B2．【答案】A【解析】∵等式对一切n∈N+都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得解得a=,b=c=.故选A3．【答案】D【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选D4．【答案】B【解析】用排除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选B.5．【答案】1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4【解析】∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24,∴原式为1+2+22+23+24.从k到k+1时需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1.故填1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+46．【答案】【解析】函数对于，定义，．，，由此可以猜想以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；假设时成立，即，则时，也成立故故填．7．【答案】存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立，证明略【解析】假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,令n=1,2,3得整理得解得令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.于是对于n=1,2,3,等式Sn=(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明等式对于一切n∈N+都成立,过程如下:①当n=1时,已得等式成立.②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即Sk=(3k2+11k+10),则n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=[k(3k+5)+12(k+2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10],∴当n=k+1时,等式也成立.根据①②可以断定,对于一切n∈N+等式都成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立.