第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是维欧几里得空间的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。2.1度量空间的基本概念2.1.1距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了上现有的距离函数，即对。度量是上述距离的一般化：用抽象集合代替实数集，并在上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。【定义2.1】设是一个非空集合，：是一个定义在直积上的二元函数，如果满足如下性质：（1）非负性；（2）对称性（3）三角不等式；则称是中两个元素与的距离（或度量）。此时，称按成为一个度量空间（或距离空间），记为。注：中的非空子集，按照中的距离显然也构成一个度量空间，称为的子空间。当不致引起混淆时，可简记为,并且常称中的元素为点。例2.1离散的距离空间设是任意非空集合，对中任意两点令显然，这样定义的满足距离的全部条件，我们称是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2.2维欧几里得空间表示维向量的全体组成的集合，也表示个实数组成的数组的全体形成的集合。对，，定义（2.1）下面来证满足度量定义中的条件（1）~（3）。由式（2.1）不难验证满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。取，则有因此，是一距离空间。称为维欧氏空间。注：若在中规定（2.1ˊ）则也是距离空间（读者自己验证）例2.3所有数列组成的集合，对定义（2.2）那么是上的度量。式（2.2）通常称为Fréchet组合。显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对及由于函数是单调增函数，因此由得在上市不等式两边同乘再求和，便得因此是距离空间。例2.4连续函数空间对定义（2.3）则是上的一个度量。显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数由所以例2.5函数类（参见1.6节）,对定义（2.4）则是上的一个度量，是度量空间。由根据Lebesgue积分的性质有。反之，若，则。所以，满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数，根据1.6节Minkowski不等式有即满足度量定义条件（3），所以是上的一个度量，是度量空间。例2.6是本性有界可测函数的全体，即上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对定义（2.5）则是上的一个度量，是度量空间。由式（2.5）显然可知，满足度量条件（1）~（2）。现证满足度量条件（3），对及存在且使从而有令得。所以是上的一个度量，是度量空间。2.1.2距离空间中点列的收敛性非空集合引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。【定义2.2】设是一个度量空间，称点列收敛于，是指叫做点列的极限，记作或。度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理2.1】度量空间中的收敛点列的极限是唯一的，且若收敛于则的任意子列也收敛于。证明：首先证明定理的第一部分。设都是的极限，则对有令有必然有因此这说明最多有一个极限。其次证明定理的第二部分。设收敛于，于是，存在自然数，当时，。由于，从而当时，也有故收敛于。证毕。下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。例2.7空间中点列按度量式（2.1）收敛于的充分必要条件是对每个有，即按坐标收敛。证明：对，由于因此，当时，一定有，。由于所以，对，当时。证毕。同样我们也可以证明中点列按距离式（2.1′）收敛于的充要条件是对于每个，有。例2.8空间中点列按式（2.3）度量收敛于的充分必要条件是在上一致收敛于。证明：由知对当时，即对任意当时，所以在上一致收敛于。若在上一致收敛于，则对当时，对于恒有从而即。证毕。若按式（2.4）定义度量，则就构成的子空间，令由勒贝格控制收敛定理，在中收敛于显然但不一致收敛于。例2.7，例2.8表明，...