曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明邢家省，王拥军（北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191）摘要:给出中曲面的3个基本形式的系数矩阵之间关系的一个直接证明,并由此得到曲面的3个基本形式之间的关系表示及其一些应用.关键词:第三基本形式;法曲率的最值;测地挠率:O186.11文献标识码:A曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示是一个重要结论，对其证明引起了人们的极大兴趣.我们在已有方法的基础上，经过综合分析和领会，发现了一套自然合理的推导转换的过程，给出了直接简单自然的证明过程.1曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明设曲面是类的正则曲面.曲面上一点处的单位法向量为.我们采用文献[1-3]中的记号.收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），北京航空航天大学教改项目基金资助作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作.Email:xjsh@buaa.edu.令，称为曲面的第三类基本量.用表示曲面的第三基本形式：.曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.我们在曲面上选取正交曲线族为坐标曲线网下，给出证明.选取曲面上的正交曲线族为坐标曲线网.设曲面上的坐标曲线网是正交网.则有，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，高斯曲率，平均曲率.因为所以，从而共面，共面，设，则有；设，则有.于是，，，代入第三基本形式，可得到.2曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系设曲面是类的正则曲面.曲面上一点处的单位法向量为.定理1设，，分别是曲面在点处的第一、第二、第三基本形式的系数矩阵.则有，（1）证明因为所以，从而共面，共面；存在，使得，;写成矩阵形式为，记，则有，两边左乘，得到，即，由基本量的计算公式，得，于是成立，从而有，所以得出，，故成立.3法曲率最值的特征值及特征向量性质考虑法曲率的最值和最值方向的特征值、特征向量性质.令，，；则有.因此，最大值、最小值问题转化为讨论在条件下的最大值、最小值问题。因为是有界闭集，在S上连续，所以在S上存在最大值和最小值.存在，使得.记.对任意的实数t及都有，，，经过展开计算，可得，（任意），从而，;同理可证，方程组，，有非零解当且仅当，.由于，所以满足，即是该方程根.由韦达定理，便得，.显然等价于，于是是特征方程的两个根，所以有，.于是，，容易验证这与前面的一致，便于记忆使用和推导使用.当时，有，，由此可得，，即两方向垂直、共扼.设，则有，.于是，，即是曲面上垂直、共扼的切方向.上面的推导方法，提供了法曲率最值和最值方向的同时求法，并且法曲率的两最值方向是正交和共轭的.4、曲面的第三基本形式的表示的矩阵证法由上面的引入方法，自然导致了考虑特征多项式零点的问题．对二阶方阵，其征多项式为，直接验证，可知满足特征矩阵方程，即，其中为２阶方阵，为２阶单位矩阵．从而可知满足矩阵方程，即，代入得到，从而有，即得到，写出此矩阵方程的关于的二次型，就得到，（2）5曲面的第三基本形式的表示式的一些应用推论1曲面上一点沿一方向上的法曲率为和测地挠率之间满足:,(3)证明因为曲面在同一点同一方向的法曲率和测地挠率分别为:，，由及，得:，因为正定,由(2)式得，此即.推论2极小曲面曲面上一点沿一方向上的法曲率为和测地挠率与曲面的Gauss曲率满足:.推论3若曲线为过曲面上一双曲点的渐近曲线，且曲率，则曲线在点的挠率和曲面在点的Gauss曲率满足:，(4)证明由于沿渐近曲线，利用条件，所以曲线的主法向量垂直于曲面的法向量,于是曲线的副法向量平行于曲面的法向量,即（为曲线的自然参数）.由曲线论的Frenet公式，得,两边取模的平方，得:，又沿渐近曲线，由(2)式得，所以有.参考文献：[1]梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京：高等教育出版社出版，2008，87-105.[2]陈维桓.微分几何[M]..北京:北京大学出版社,2006,158-176,229-241.[3]彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2002,47-59.[4]马力.简明微分几何[M].北京：清华大学出版社,2004...