历史视角的“无理数〞概念教学思考【摘要】无理数概念教学的浅表化现象普遍存在.通过对其中几个典型表现的分析发现，从历史视角来分析无理数概念的认知过程，有助于我们找到有效的教学路径.人类认知无理数的历史说明，无理数概念建构的关键在于认识它与有理数的本质区别.因此，无理数概念教学的重点应该是让学生感受"不可公度量"的存在.【关键词】无理数;历史视角;不可公度;教学路径2021年5月，笔者有幸参与了某杂志社主办的初中数学录像课评比活动的第一轮评审.参赛作品中，有多那么课例的教学内容为无理数的概念，虽然它们可能对应不同版本的?数学?教材，但是教学的侧重点都表达了执教者对无理数概念的教学认识.其中普遍存在的一个问题，是无理数概念教学的浅表化，引发笔者对无理数概念教学的一些思考.1无理数概念教学几种浅表化表现及其分析1.1集中精力于“一个定义+三种类型〞多数课例中的“无理数〞教学其实都可以概括为“一个定义+三种类型〞.先通过面积为2的正方形的边长让学生感受2的现实存在，然后在几次估算的根底上告知学生2是一个无限不循环小数，再以此为根底给出无理数的定义：像……这样的无限不循环小数称为无理数.接下来，为了让学生能“识别无理数〞，教学的重心就转移到“常见的类型〞的概括上：含不尽根的、人为构造的〔比方0.1010010001…〕、含π的……分析集中精力于“一个定义+三种类型〞，能有效地帮助学生应对无理数概念考查，确保考试的时候“不吃亏〞.初中阶段对无理数概念的直接考查，往往也就是一个选择题：“以下数中哪一个不是有理数〞.因此，很多老师在中考复习的时候仍然沿用这种方法，只不过此时的类型变成四种〔比之前多出“非特殊角的三角函数〞类型〕.这种教学其实主要就是死记“类型〞，目的只是为了“会做题〞.学生往往不理解无理数的概念本质，只知道这几种类型的数对应“无限不循环小数〞.看似简单易行，效果显著，其实是弱化了学生对无理数概念本质的理解，概念没有真正建构.1.2通过掷骰子来“创造〞无理数有执教者在无理数的概念教学中设计了操作体验活动：写一个小数，整数局部为0，小数数位上的数字完全由掷骰子决定.学生每两人一组，一名学生负责掷骰子，另一个学生负责记录.随着掷骰子的次数越来越多，小数点后的数位上数字不断增加，并且随机产生，没有规律……分析通过掷骰子来“创造〞无理数，目的是帮助学生理解无理数的“无限〞和“不循环〞特征.通过“掷骰子〞結果的随机性，可以让学生体会到自己所创造的“无理数〞小数位上的数字“没有规律〞.但是笔者发现，这种操作体验活动不仅不能帮助学生理解无理数“无限不循环〞的原因，反而容易给学生带来的认知上的误导.关于这一点，笔者之前曾做过研究，“掷骰子创造无理数〞之后，很多学生认同“无理数的大小是不确定的，小数点后数位上的数字是随机产生的〞.也就是说，“掷骰子创造无理数〞很容易导致学生把“无限〞和“不循环〞错误地理解为“不确定〞.1.3把夹逼估算无理数作为重点有执教者通过面积为2的正方形边长来说明2的“客观存在〞，接下来将教学重点放在“2是一个什么样的数〞上，用“二分法〞不断地夹逼，逐步确定2的个位、十分位、百分位、千分位……最后归纳总结：“像2这样的数，用二分法可以不断逼近它，但它是一个无限不循环小数，我们把无限不循环小数称为无理数.〞分析用夹逼法估算2的值，既可以让学生在一定程度上体会无理数的“无限〞“不循环〞，又可以让学生掌握一种有效的估算策略〔“二分法〞逼近〕.但是，从无理数概念理解的角度来看，把夹逼估算无理数作为重点并不能帮助学生真正理解无理数与之前的“有理数〞有什么本质区别，其“无理〞究竟表现在哪里.有限次的“夹逼〞之后，概念的理解其实仍然归结为教师的一个告知——“它是无限不循环的小数，被称为无理数.〞从思维策略与思想方法的角度来看，“夹逼法估算无理数〞的具有一定的教学价值，但它不应该是无理数概念教学的重点.上述几种教学表现，其实都只是在围绕着无理数的小数定义〔无限不循环小数就是无理数〕“打转转〞，要么是死记定义，要么就是对定义的字面表述进行解释或者验证〔帮助学理...