§4.矩阵的幂级数在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。一、矩阵级数1.Df1.：若给定中的一方阵序列，nn??,,?AA,ACm01则和式??A??A?A?A?m012)??(1?m—求和变量。方阵级数，记为。其中为通项，称为?AAmm0m?N称为（1）的前N项部分和序列（矩?A?A?A???SA?m10NN0m?阵序列）若，则称（1）收敛，且其和为SS?{S}N说明：若记表示的第i行第j列位置上的元素，根A)(Amijm1据定义显然有，收敛个数项级数??2An?m0?m收敛。??),,,?,()(Aij12?nijm0m?20??绝对收敛。Df2.若个数项级数绝对收敛，则称??2A(A)nmmij0?0mm?2.收敛方阵级数的性质：?绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各①若方阵级数?Am0?m项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。??收②方阵级数收敛，正项级数对任一方阵范数????AAmmm0m??0敛。下面研究矩阵（方阵）幂级数二、矩阵幂级数?为一复其中为矩阵A的幂级数，Df1.设，称?mn?n}c{AcCA?mmm?0?N，的部分和，若数序列，称为幂级数??mmA?ScAcSlimS?mmNN??N0m?m?0??的和矩阵。，并称S为幂级数收敛于称S??mmAccAmm00m?m?注：若令，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。因此，m?AcA?mm矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即：??矩阵幂级数收敛于Th1.??mm)?n,j?1,2(S?c(A)(?S)i,Acmijmij0?m0?m其中，,分别表示和的第i行，第j列元素。mmS)(cA)(SAcijmijm21?，正向级数Th2.矩阵幂级数绝对收敛对任一范数?m??Acm0?m?级数收敛。?mAcm0m???Proof:若的敛散性，收敛，考虑??mm?ccAAmm10mm?0?由矩阵范数的等价性，与等价，即??kk?,211使（由比较审敛法）mmmA?k?cAAkccm21mm1?收敛。?cAmm10?mn又?mmm)?maxA(ccA)?cA(?ijmmijm1j1?i??收敛，因此，绝对收敛。??mAAc)c(?mmijm0?m0?m??收敛若绝对收敛??m?Ac)(?Acmmmij0?m0?mn?n?收敛，即收敛。????mm)?A((c)Acijmm4??j10m?i10m?使数范一矩阵，任价范由矩阵数的等性对k,?k??21?有，收敛。?mmmmAA?cAck?ckAc?mmm12m440?m22??（收推论1.若绝对收敛（收敛），则绝对收敛??mmQ)cAAP(cmm0m?m?0敛）阶方阵，且有其中P,Q为给定的n????mmQcP(cAA)Q?Pmm0m?0m???绝对收敛Proof：绝对收敛。??mm?AAccmmm??00m又mmQA??P?cP?(Ac)?Qmm?由比较审敛法，绝对收敛。?mQ(cA)P?mm?0下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：?的谱半径为，A设复变数幂级数的收敛半径为RTh3.?mZcm0?m，则：nn??C(A),A??①当时，绝对收敛。?m?AcR)?(Amm?0?时，发散。②当?m?AcR?)(Am0?m1（如取），：Proof①若??????))A??(R(RA())(.,st0??R?A??223?收敛?m??)(?(Ac)?m0?m,存在矩阵mm?????)?(A?A?cA)?s.tc(A)?(mm为单位向量，，其中x，设②若????x?Ax)?(AR(?A)jj?知：若收敛，则由推论1.?mAcm0?m????????mHHmHmmH??xx?Axcx?cxcxx?x(Ac)jjmmmm00m?0m?0m?m??2?Hm?)1x??cx?(?xjm0m??也收敛，但在收敛域之外而发散，矛盾，?m?cjm0m??故，发散。?mAcm0?m应该注意：时，无法确定。?R(A)???绝的收敛半径，则对，推论2.若??mmnn?AcZcC??A??R?mm0?0mm??。在整个复平面上收敛对收敛，即复变数幂级数?mZcm0?mm?Z的收敛半径，对,有，故eg1.?nn??C??ARA)?(???R!m0m?m?A且绝对收敛。?Ae?m!0m?2410.30.0.2?????2.设，试证明绝对收敛。eg?m3.1500.10.A?A????0?m20.20.240.???。的收敛半径Proof：?mX?1?R0?m即可。则只要证?1?(A)，有：对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取??5?1.9?a?nmax?0(A)?Aij5n1j?i,??3，绝对收敛。由Th?mA?0?m?证明：，eg3.若?1m?nn??)?(E?AAC?A1A)?(0?m:Proof1?2NNAE???A?)?)((E?AE?A?AN即?1mN?A?EA?A(E?)0?m两边取极限?N左边＝??mmA)AA)?(E?Elim(?A??N0m?0?m1?NEE?limA?右边＝??N,Th5.（由上节）1?N?0lim?A?1?)A?(??N25N?所以有，即??m1?mE)A?(E?A)AEA??(0m?0m?3.2010.????4.设eg3.A?020????300???试判断①的敛散性?mAm?10m?m?)(?1绝对收敛。②试证明：?mA!m0m??R,解：①。设的收敛半径为?m?Zm?13??(A)0?m?1m?发散。，故可见?m?1?R?limA1m?R?A)(2m??m?m?0m?)?1(的收敛半径②?mZ??R?!m0?mm?)?1(故绝对收敛。?m?AR??(A)!m0m??说明：象幂级数一样，有时还会遇到如的幂级?m?)Ec(A?0mm?0数，对于它的敛散性，可用下列定理判别。?，其特征值R，对Th4.若的收敛半径为?mnn??)(ZE?cC?A?0m0?m为，若满足。???niR??,,,),,??(?12?,?n210i26?，则一使有对收则敛；若某绝?m????R??)?AE(ci0m0i0?m?发散。?m?)?(cAE0m0?m27
