第一章概率统计基础知识（中级）第一章概率统计基础知识（中级）上海质量教育培训中心2005年第一节概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象z随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。z特点——随机现象的结果至少有两个——至于哪一个出现，人们事先并不知道z样本点认识一个随机现象，首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是今后的抽样单元即样本点。z样本空间：记为Ω随机现象可能样本点的全部称为这个随机现象的样本空间。（二）随机事件z事件（随机事件）：随机现象的某些样本点组成的集合。用大写英文字母A、B、C……表示。z随机事件的特征——任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。——事件A发生当且仅当（）A中某一样本点发生。——事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言要大家明白无误。——任一样本空间Ω有一个最大子集即Ω；它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。——任一样本空间Ω都有一个最小子集即空集，它对应的事件称为不可能事件，记为Φz随机事件的关系——包含：A??B或B??A在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A。——互不相容在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。z可推广到三个或更多个事件间的互不相容——相等：A=B即A??B且B??A在一个随机现象中有两个事件A与B，若样本A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等。例：A={（x，y）：x+y=奇数}B={（x，y）：x与y的奇偶性不同}则：(1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5)A=B=(3,2),(3,4),(3,6)…（三）事件的运算z事件运算——对立事件：A→A在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，则由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记。A则??=ΦA=AΦ=??，，——事件A与B的并：A∪B由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件。称为A与B的并，AUB发生意味着“事件A与B至少一个发生”I——事件A与B的交：AB或AB由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称AIB为事件A与B的交。发生意味着“事件A与B同时发生”z事件的并和交可推广到更多个事件上去。——事件A对B的差：A-B由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件，称为A对B的差。（a）A-B（b）A-B（A??B）事件运算性质：AIB=BIA——交换律：AUB=BUA，——结合律：AU(BUC)=(AUB)UCAI(BIC)=(AIB)ICAU(BIC)=(AUB)I(AUC)——分配律：AI(BUC)=(AIB)U(AIC)——对偶律：AUB=AIBAIB=AUB可用维恩图验证，可推广到三个或三个以上事件的运算。（四）事件的概率z概率——事件发生可能性大小的度量在一个随机现象中，用来表示任一随机事件A发生可能性大小的实数称为该事件的概率，记为P（A）。z概率是一个介于0和1之间的数，即0≤P(A)≤1;z必然事件的概率等于1，即P（Ω）=1；z不可能事件的概率等于0，即P（Φ）=0。二、概率的古典定义与统计定义（一）古典定义——所涉及的随机现象只有有限个样本点。如共有n个样本点；——每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；——假如被考察事件A含有K个样本点，则事件A的概率定义为KA中含样本点的个数P(A)==n??中样本点的总数（二）统计定义——与考察事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的；——若在n次重复试验中，事件A发生K次，则n事件A发生的频率为：K事件A发生次数nf(A)==nn重复试验数——f(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋n于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。一般用重复次数n较大时的频率去近似概率。三、概率的性质及其运算法则概率的性质：（可由概率的定义看出）——性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；——性质2：P(A)=1??P(A)——性质3：若A??B则P（A-B）=P（A）-P（B）——性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）若A与B互不相容P（A∪B）=P（A）+P（B）——性质5：对于多个互不相容事件A，A，……，12有P(A∪A∪A∪……)=P(A)+P()+p(A)+……；12313四、条件概率与概率的乘法法则（1）条件概率两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记P（A/B）。计算公式：P(AB)P(AB)=(P(B)》0)P(B)z性质6：...