§1.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标1.了解回归分析的必要性及其一般步骤.2.了解随机误差的概念.3.会作散点图，并会求线性回归方程.4.利用残差分析来判断线性回归模型的拟合效果.5.掌握建立回归模型的基本步骤，并通过实例进一步学习回归分析的基本思想及其初步应用．知识点一回归分析的相关概念思考1相关关系是确定性关系吗？函数关系呢？答案相关关系是一种非确定性关系，而函数关系是一种确定性关系．思考2请问产生随机误差的主要原因有哪些？答案(1)所选用的模型不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在测量误差．梳理(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为线性回归分析．(2)线性回归方程为y＝bx＋a，且b＝，a＝－b，其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心，回归直线一定过样本点的中心．(3)样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y＝bx＋a来描述它们之间的关系，而是用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即解释变量x只能解释部分预报变量y的变化．知识点二回归模型的模拟效果思考如何评价回归模型拟合效果的优劣？答案计算相关指数R2的值，R2越接近于1，效果就越好．梳理残差把随机误差的估计值ei称为相应于点(xi，yi)的残差残差图作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的数值，这样作出的图形称为残差图残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和残差平方和为(yi－yi)2，残差平方和越小，模型的拟合效果越好相关指数R2R2＝1－，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好1．回归方程y＝bx＋a中的b表示当x每增加一个单位时，y的变化量．(√)2．R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．(√)3．散点图是判断两个变量是否有相关关系的工具之一．(√)4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为1.(√)5．回归直线y＝bx＋a不一定过点(，)．(×)类型一线性回归方程的求解例1现有某高新技术企业年研发费用投入x(百万元)与企业年利润y(百万元)之间具有线性相关关系，近5年的年科研费用和年利润具体数据如下表：年科研费用x(百万元)12345企业所获利润y(百万元)23447(1)画出散点图；(2)求y对x的线性回归方程．考点回归分析题点建立回归模型的基本步骤解(1)散点图如下图所示：(2)由题意可知，＝＝3，＝＝4，iyi＝1×2＋2×3＋3×4＋4×4＋5×7＝71，＝12＋22＋32＋42＋52＝55，根据公式，可求得b＝＝1.1，a＝4－1.1×3＝0.7，故所求线性回归方程为y＝1.1x＋0.7.引申探究在例1基础上，试估计当x＝10时，企业所获利润为多少？解依上例得y＝1.1x＋0.7，将x＝10代入，得y＝11.7(百万元)．故估计企业所获利润为11.7百万元．反思与感悟(1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．②计算：，，，iyi.③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值．④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．跟踪训练1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：x23456y2.23.85.56.57.0由此资料可知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程；(2)求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)由上表中的数据可得＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3，∴b＝＝＝1.23，∴a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.∴线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.3...