立体几何二面角问题的公式解法探宄［摘要］立体几何的二面角问题一直都是高中数学教学和考试的重点和难点，试题的解法具有独特性、针对性.一种求二面角的方法一一公式法，在所有涉及三面角的题目中，能用上此种方法的题占80%以上.［关键词］立体几何二面角公式法［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］16746058(2015)110001立体几何中的二面角问题是高考的热点，自然是高考复习的重点，这类题的常规解法有两种：定义法和向量法.本文试图再添一法公式法.一、公式法的应用为行文方便，约定:三棱锥的一个侧面三角形中，顶点与棱锥的顶点公共的角称为这个侧面的顶点有两个侧面互相垂直的三棱锥称为直侧面三棱锥；互相垂直的两个侧面称为直侧面；与两个直侧面都斜交的另一侧面称为斜侧面.1如图1，三棱锥O-ABC中，AB丄OA，AC丄OA，ZBAC是二面角B—OA—C的平面角，记为a.棱OA所对的顶点角ZBOC记为e，与OA相邻的顶点角ZBOA和ZCOA分别为01和02.设OA=a，OB=b，OC=c，AB=m，AC=n.在AABC和ABOC中，利用余弦定理有m2+n2-2mncosa=BC2=b2+c2-2bccos9-2mncosa=b2-m2-n2+c2-2bccose=a2+a2-2bccosGcosa=bccos0-a2mn=cos0-ab?acmb?nc.（ab=cos0l,ac=cos02，mb=sin01,nc=sin02）结果求得二面角大小的一般式公式：cosct=cos0-cos9lcos92sin0lsin02.图2又如图2，三棱锥M—NPQ中，侧面MPN丄侧面MPCbQP丄MP，PN丄MN，则根据三垂线定理知ZPNQ是二面角P-MN-Q的平面角，记为c[.棱MN所对的直侧面的顶点角记为e，与棱MN相邻的另一直侧面的顶点角记为01，斜侧面的顶点角记为02.VZMNP=ZMNQ=ZMPQ=ZNPQ=90°,/•tana=PQNP=MP?tan0MP?sin01，得公式（一）tana=tan0sin01；sina=PQNQ=MQ?sin0MQ?sin02,得公式（二）sina=sin0sin02；cosa=NPNQ=MN?tan0lMN?tanG2,得公式（三）cosa=tan0ltan02.公式（一）（二）（三）统称为求二面角大小的直面式公式.把一个二面角看成一个三棱锥的两个侧面组成的用这个三棱锥的三个或其中的两个侧面的顶点角来计算这个二面角的大小是本文公式的本质特征.这个三棱锥称为这个二面角的相关三棱锥.笔者查看近五年全国各省高考数学试题发现，在所有涉及二面角的题目中，能用上直面式公式的题占80%以上，其中能用上公式(一)的最多.下面以历年高考真题为例来说明本公式的应用.3【例1】(2014?浙江?20，15分)如图3,在四棱锥A—BCDE中，平面ABC丄平面BCDE，ZCDE=ZBED=90°,AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.(I)证明：DE丄平面ACD;(II)求二面角B-AD-E的大小.解：(I)在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，DC=2，得BD=BC=2，又AC=2,AB=2,得AC2+BC2=AB2,即得AC丄BC.又平面ABC丄平面BCDE,/.AC丄平面BCDE.•••AC丄DE.又DE丄DC，ACADC=C,，.DE丄平面ACD.(II)分析：观察三棱锥D—ABE，易知棱DA所IJ对的ZEDB=45°，由已知DE=BE，DE丄BE，与棱DAIDA，与DA相邻的另一个ZBDA所在的AABD是直角三角形，这可从三边长BD、DA、AB检验勾股定理得到，也可由（I）知DB丄BC，DB丄AC，得DB丄平面ABC，/.DB丄AB.AABD的三边长易得，相关的三个角的正、余弦值可写，从而思路打通.解:（II）以D为顶点，设ZEDB=e,*/DE丄EB,DE=EB,/.0=45°.设ZEDA=Q1，YED丄平面ACD，...ED丄AD，01=90°.设ZBDA二02，由(I)矢口AC丄DC，•••AD=DC2+AC2=6，•••BD2+AB2=AD2，即BD丄AB，Acos02=DBAD=13,/.sin02=23.设所求的二面角为a，代入公式，得cosCL=cos0-cos0lcos02sinlsin02=22-01X23=32.•••a=n6，故二面角B-AD-E的大小为n6.4【例2】(2012?全国新课标?19，12分)如图4,直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱柱AA1的中点，DC1丄BD.(I)证明：DC1丄BC;相邻的ZEDA=90由（I）矢口ED丄平面ACD，/.ED(II)求二面角A1-BD-C1的大小.解：（I）证明：由题设知，直棱柱的侧面为矩形.设AC=BC=1,则AA1=2,A1C1=B1C1=1，CC1=BB1=2.为AA1的中点，•••DC=DC1=2，可得DC21+DC2=CC21，•••DC1丄DC又DC1丄BD，DCABD=D,•••DC1丄平面BCD.二面角A1-BD-C1中，面A1DB即为面A1DBB1，可把点A1移至B1的位置，等价转换为求二面角B1-BD-C1的大小，以B为顶点，相关三棱锥为B-DC1B1，其中侧面BC1B1和侧面BDC1均为直角三角形，侧面DBB1是等腰三角形，所有的边长都容...