专练08（解答题-立体几何）（20题）-2022年高考数学考点必杀300题（浙江卷）1．（2022·浙江·海亮高级中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形.平面，，当分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若且，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）要证平面，即证（等腰三角形性质），（由线面垂直性质证明）；（2）结合建系法，由二面角余弦值的向量法求出，再由线面角的向量公式直接求解.(1)证明：，为中点，，四边形为矩形，，又平面平面，，又平面，平面，平面，，分别的中点，，又平面，平面；(2)显然两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，，由题意得，，解得，，设直线与平面所成的角为，则.2．（2022·浙江宁波·高三期末）如图，在三棱锥中，，，，点M在线段BC上，且.(1)求证：；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取AB中点为Q，连接QP、QM，可得，在中由已知条件可得，即有，根据线面垂直的判定定理可得平面PQM，再由性质定理可得答案；（2）由线面垂直的判定定理可得平面ABC及，过Q作，由线面垂直的判定定理可得平面PQN，及，所以是二面角的平面角，在中计算可得答案.(1)取AB中点为Q，连接QP、QM，因为，所以，在中，，，，所以，因此，于是，即，又，所以平面PQM，因此.(2)在中，，，，所以，即，又，，所以平面ABC，平面ABC，所以，过Q作，垂足N，连PN，，得平面PQN，平面PQN，所以，所以是二面角的平面角，在中，，，，所以.3．（2022·浙江台州·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,，，，，点在线段上，与相交于点，点是线段的中点．(1)证明：平面；(2)若点为线段的中点，记直线与平面所成角为，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）连接，证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得的值.(1)证明：连接，因为，点是线段的中点，所以，即，，为的中点，则．，故平面．(2)解：因为，，所以．因为，，所以．因为，所以，，所以，所以，即．因为，，所以平面．以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，因为点为线段的中点，所以．则，．设是平面的法向量，则，即，令，则，，即，因为，所以．4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）如图，四棱锥的底面为等腰梯形，，且，，平面平面ACB.(1)求证：；(2)若，求直线AE与平面ACD所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.(1)证明：因为平面平面ACB，且平面平面，，所以平面ACD，又因为平面ACD，所以.(2)如图，建立空间直角坐标系.由已知条件，易得，，.在中，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理得,所以，因为，所以，,又平面ACD的一个法向量即为，设直线AE与平面ACD所成角为，则，所以直线AE与平面ACD所成角为.5．（2022·浙江·温州中学高三期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，.(1)证明：；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）通过证明线面垂直来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得与平面所成角的正弦值.(1)取为中点，连接、、，由于三角形和三角形是等边三角形，所以，，由于，所以面，又面，所以.(2)，所以，所以.，.如图所示，建立空间直角坐标系，为中点，，，，，，，，设点坐为面的一个法向量，则有，得，取，设与面所成角为，则有，所以与面所成角的正弦值.6．（2022·浙江·镇海中学高三期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，点为侧棱上一动点(不含端点)．(1)求证：平面平面；(2)若，是否存在点使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；或【解析】【分...